I. Quemadmodum ad aequalitatem omnis inaequalitas reducatur.
II. De inveniendo in unoquoque numero, quot numeros eiusdem proportionis possit praecedere
eorumque descriptio descriptionisque expositio.
III. Quod multiplex intervallum ex quibus superparticularibus medietate posita intervallis fiat
eiusque inveniendi regula.
IIII. De per se constante quantitate, quae in figuris geometricis consideratur,
in quo communis ratio omnium magnitudinum.
V. De numero lineari.
VI. De planis rectilineis figuris quodque earum triangulum principium sit.
VII. Dispositio triangulorum numerorum.
VIII. De lateribus triangulorum numerorum.
VIIII. De generatione triangulorum numerorum.
X. De quadratis numeris.
XI. De eorum lateribus.
XII. De quadratorum numerorum generatione rursusque de eorum lateribus.
XIII. De pentagonis eorumque lateribus.
XIIII. De generatione pentagonorum.
XV. De exagonis eorumque generationibus.
XVI. De eptagonis eorumque generationibus
et communis omnium figurarum inveniendae generationis regula descriptionesque figurarum.
XVII. Descriptio figuratorum numerorum in ordine.
XVIII. Qui figurati numeri ex quibus figuratis numeris fiant
inque eo, quod triangulus numerus omnium reliquorum principium sit.
XVIIII. Pertinens ad figuratorum numerorum descriptionem speculatio.
XX. De numeris solidis.
XXI. De pyramide, quod ea sit solidarum figurarum principium, sicut triangulus planarum.
XXII. De his pyramidis, quae a quadratis vel a ceteris multiangulis figuris proficiscuntur.
XXIII. Solidorum generatio numerorum.
XXIIII. De curtis pyramidis.
XXV. De cybis vel asseribus vel laterculis vel cuneis vel sphericis vel parallelepipedis numeris.
XXVI. De parte altera longioribus numeris eorumque generationibus.
XXVII. De antelongioribus numeris et de vocabulo numeri parte altera longioris.
XXVIII. Quod ex inparibus quadrati, ex paribus parte altera longiores fiant.
XXVIIII. De generatione laterculorum eorumque definitione.
XXX. De circularibus vel sphericis numeris.
 
XXXI. De ea natura rerum, quae dicitur eiusdem naturae
et de ea, quae dicitur alterius naturae et qui numeri cui naturae coniuncti sint.
XXXII. Quod omnia ex eiusdem natura et alterius natura consistant, idque in numeris primum videri.
XXXIII. Ex eiusdem atque alterius numeri natura,
qui sunt quadratus et parte altera longior, omnes proportionum habitudines constare.
XXXIIII. Quod ex quadratis et parte altera longioribus omnis formarum ratio consistat.
XXXV. Quemadmodum quadrati ex parte altera longioribus vel parte altera longiores ex quadratis fiant.
XXXVI. Quod principaliter eiusdem quidem sit substantiae unitas,
secundo vero loco inpares numeri, tertio quadrati
et quod principaliter dualitas alterius sit substantiae,
secundo vero loco pares numeri, tertio parte altera longiores.
XXXVII. Alternatim positis quatratis et parte altera longioribus
qui sit eorum consensus in differentiis et in proportionibus.
XXXVIlI. Probatio quadratos eiusdem esse naturae.
XXXVIIII. Cybos eiusdem participare substantiae, quod ab inparibus nascantur.
XL. De proportionalitatibus.
XLI. Quae apud antiquos proportionalitas fuerit, quas posteriores addiderint.
XLII. Quod primum de ea, quae vocatur arithmetica proportionalitas, dicendum sit.
XLIII. De arithmetica medietate eiusque proprietatibus.
XLIIII. De geometrica medietate eiusque proprietatibus.
XLV. Quae medietates quibus rerum publicarum statibus comparentur.
XLVI. Quod superficies una tantum in proportionalitatibus medietate iungantur, solidi vero numeri duabus medietatibus in medio collocatis.
XLVII. De armonica medietate eiusque proprietatibus.
XLVIII. Quare dicta sit armonica medietas ea quae digesta est.
XLVIIII. De geometrica armonia.
L. Quemadmodum constitutis altrinsecus duobus terminis
arithmetica, geometrica et armonica inter eos medietas alternetur;
in quo de eorum generationibus.
LI. De tribus medietatibus, quae armonicae et geometricae contrariae sunt.
LII. De quattuor medietatibus, quas posteri ad implendum denarium limitem adiecerunt.
LIII. Dispositio decem medietatum.
LIIII. De maxima et perfecta symphonia, quae tribus distenditur intervallis.
 

I. Quemadmodum ad aequalitatem omnis inaequalitas reducatur.

Superioris libri disputatione digestum est, quemadmodum tota inaequalitatis substantia a principe sui generis aequalitate processerit. Sed quae rerum elementa sunt, ex hisdem principaliter omnia componuntur, et in eadem rursus resolutione facta solvuntur; ut, quoniam articularis vocis elementa sunt litterae, ab eis est syllabarum progressa coniunctio et in easdem rursus terminatur extremas; eandemque vim obtinet sonus in musicis. Iam vero mundum corpora quattuor non ignoramus efficere; namque ut ait: Ex imbri, terra atque anima gignuntur et igni. Sed in haec rursus eius quattuor elementa fit postrema solutio. Ita igitur, quoniam ex aequalitatis margine cunctas inaequalitatis species proficisci videmus, omnis a nobis inaequalitas ad aequalitatem velut ad quoddam elementum proprii generis resolvatur. Hoc autem trina rursus imperatione colligitur, eaque resolvendi ars datis quibuslibet tribus terminis inaequalibus quidem sed proportionaliter constitutis, id est ut eandem medius ad primum vim proportionis obtineat, quam qui est extremus, ad medium, in qualibet inaequalitatis ratione vel in multiplicibus, vel in superparticularibus, vel in superpartientibus, vel in his, qui ex his procreantur multiplicibus superparticularibus, vel multiplicibus superpartientibus, eadem atque una ratione indubitata constabit. Propositis enim tribus, ut dictum est, terminis aequis proportionibus ordinatis ultimum semper medio detrahamus et ipsum quidem ultimum primum terminum conlocemus, quod de medio relinquitur, secundum. De tertia vero propositorum terminorum summa auferemus unum primum et duos secundos, eos, qui de medietate relicti sunt, et id quod ex tertia summa relinquitur, tertium terminum constituemus. Videbis igitur hoc facto in minorem modum summas reverti et ad principaliorem habitudinem comparationes proportionesque reduci, ut si sit quadrupla proportio, primo ad triplam, inde ad duplam, inde ad aequalitatem usque remeare; et si sit superparticularis sesquiquartus, primo ad sesquitertium, inde ad sesqualterum, postremo ad tres aequales terminos redire. Hoc autem nos exempli gratia in multiplici tantum proportione docebimus, sollertem vero in aliis quoque inaequalitatis speciebus id experientem eadem ratio praeceptorum iuvabit. Constituantur enim tres a se termini quadrupli.

VIII. XXXII. CXXVIII.

Aufer igitur ex medio minorem, id est ex triginta duobus octonarium, relinquuntur .XXIIII. et primum octonarium terminum pone, secundum vero, quod relictum fuerit ex medio, id est .XXIIII., ut sint hi duo termini .VIII. et .XXIIII. De tertio vero, id est .CXXVIII., aufer unum primum id est .VIII. et duos secundos, qui sunt reliqui, id est bis .XXIIII. et relinquuntur .LXXII. His dispositis terminis ex quadrupla propinquior aequitati proportio tripla redacta est. Sunt enim hi termini: VIII. XXIIII. LXXII. Ex his autem ipsis idem si feceris, ad duplam rursus comparatio remeabit. Pone enim primum minori aequum, id est .VIII., et ex secundo aufer primum, .XVI. relinquentur; sed ex tertio, id est ex .LXXII., aufer primum, id est .VIII. et duos secundos, id est bis .XVI., et erit reliqua pars .XXXII., quibus positis ad duplas proportiones habitudo redigitur: VIII. XVI. XXXII. Idem vero ex his si fiat rem omnem ad aequitatis summas eliquabimus. Pone enim primum minori aequum, id est .VIII.; et aufer ex .XVI. octonarium, remanent .VIII., quibus positis ex tertio, id est .XXXII., sumptis primo, id est .VIII. et duobus secundis, id est octonariis, supersunt .VIII.; quibus dispositis prima nobis aequitas cadit, ut subiectae summulae docent VIII. VIII. VIII.

Hinc igitur si quis ad alias inaequalitatis species animum tendat, eandem convenientiam intitubanter inveniet. Quare pronuntiandum est, nec ulla trepidatione dubitandum, quod quemadmodum per se constantis quantitatis unitas principium et elementum est, ita et ad aliquid relatae quantitatis aequalitas mater est. Demonstravimus enim, quod hinc et eius procreatio prima foret et in eam rursus postrema solutio.
 
 
II. De inveniendo in unoquoque numero quot numeros eiusdem proportionis possit praecedere eorumque descriptio descriptionisque expositio.

Est autem quaedam in hac re profunda et miranda speculatio et ut ait Nicomachus enmusotaton theorema proficiens et ad Platonicam in Timaeo animae generationem et ad intervalla armonicae disciplinae. Ibi enim iubemur producere atque extendere tres vel quattuor sesqualteros vel quotlibet sesquitertias proportiones et sesquiquartas comparationes easque secundum propositum ordinem saepe continuas iubemur extendere. Ne autem hoc labore quodam, semper quidem maximo, frequentius inferaci fiat, hac nobis ratione in quot numeris quanti possint esse superparticulares vestigandum est.

Omnes enim multiplices tantarum similium sibimet proportionum principes erunt, quoto ipsi loco ab unitate discesserint. Quod autem dico sibimet similium, tale est, ut dupli semper multiplicitas, ut superius destinatum est, sesqualteros creet et dux sit triplex sesquitertiorum, quadruplus sesquiquartis. Primus ergo duplex unum solum habebit sesqualterum, secundus duo, tertius tres, quartus quattuor et secundum hunc ordinem eadem fit in infinitum progressio, neque unquam fieri potest, ut vel superet proportionum numerum vel ab eo sit deminutior aequabilis ab unitate locatio. Primus ergo duplex est binarius numerus, qui unum solum sesqualterum recipit, id est ternarium, binarius enim contra ternarium comparatus sesqualteram efficit proportionem. Ternarius vero quoniam medietatem non recipit, non est alter numerus, ad quem in ratione sesqualtera comparetur. Quaternarius vero numerus secundus duplus est. Hic ergo duos sesqualteros praecedit. Est enim ad ipsum quidem comparatus senarius numerus, ad senarium vero, quoniam medietatem habet, novenarius, et sunt duo sesqualteri, ad .IIII. scilicet .VI., ad .VI. vero .VIIII.; novenarius vero, quoniam medietate caret, ab hac comparatione seclusus est. Tertius vero duplex est .VIII. Hic ergo tres sesqualteros antecedit. Comparatur enim ad ipsum duodenarius numerus, ad duodenarium .XVIII., ad .XVIII. rursus .XXVII. At vero .XXVII. medio carent. Idem quoque in sequentibus evenire necesse est, quod nos cum propria ordinatione subdidimus. Semper enim hoc divina quadam nec humana constitutione speculationibus occurrit, ut quotienscunque ultimus numerus invenitur, qui loco duplicis ab unitate sit par, talis sit, ut in medietates dividi secarique non possit.

I. II. IIII. VIII. XVI. XXXII. III. VI. XII. XXIIII. XLVIII. VIIII. XVIII. XXXVI. LXXII. XXVII. LIIII. CVIII. LXXXI. CLXII. CCXLIII.

Idem contingit etiam in triplicibus. Ex illis enim sesquitertii procreantur. Nam quoniam primus triplex est ternarius numerus, habet unum sesquitertium, id est .IIII., cuius quaternarii tertia pars non potest inveniri. Atque ideo hic epitrito caret. Secundus vero, qui est .VIIII., habet ad se duodenarium numerum sesquitertium, duodenarius autem, quoniam habet tertiam partem, in sesquitertia proportione comparatur ad eum numerus .XVI., qui tertiae partis sectione solutus est .XXVII. autem, quoniam tertius est triplex, habet ad se sesquitertium .XXXVI. et hic rursus ad .XLVIII. eadem proportione comparatur. Cui si .LXIIII. appositi fuerint, eandem rursus vim proportionis explebunt, quos .LXIIII. ad nullum sesquitertium rursus aptabis, quoniam parte tertia non tenentur. Atque hoc in cunctis triplicibus invenitur, ut extremus eiusdem proportionis numerus tantos ante se praecedentes habeat, quanto primus eorum ab unitate discesserit et qui tot super se eiusdem proportionis habuerit numeros, quotus ab unitate primus eorum iacet. Eius pars, qua illi comparatus numerus possit eandem facere proportionem, inveniri nequeat. Et triplicis quidem haec est descriptio.

I. III. VIIII. XXVII. LXXXI. CCXLIII. IIII. XII. XXXVI. CVIII. CCCXXIIII. XVI. XLVIII. CXLIIII. CCCCXXXII. LXIIII. CXCII. DLXXVI. CCLVI. DCCLXVIII. I(macron supra lin.)XXIIII.

At quadrupli secundum hanc formam descriptio est, ad quam scilicet, qui a prioribus instructus accesserit, nulla ratione trepidabit. Et de ceteris quidem multiplicibus eandem convenientiam pernotabis.

I. IIII. XVI. LXIIII. CCLVI. I(macron supra lin.)XXIIII. V XX. LXXX. CCCXX. I(macron supra lin.)CCLXXX. XXV. C. CCCC. I(macron supra lin.)DC. CXXV. D. II(macron supra lin.). DCXXV. II(macron supra lin.)D. III(macron supra lin.)CXXV.

Hinc quoque perspicuum est superparticularium, quemadmodum prius ostensum est, primos esse multiplices, si quidem duplices sesqualteros, triplices sesquitertios et cuncti multiplices cunctos in ordinem superparticulares creant. Est etiam in his quoque mirabile. Namque ubi prima latitudo fuerit duplex, et sub eisdem qui sunt versus continui alternatim positi secundum seriem latitudinis duplices erunt. Si vero fuerint triplices et inferiores ordines tripla se in suis terminis multiplicatione superabunt; at in quadrupla quadrupli atque hoc in infinita ductum speculatione non fallit. Angulares autem omnium multiplices evenire necesse est. Erunt autem duplicium quidem triplices, triplicium quadruplices, quadruplorum vero quincupli et secundum eandem ordinis incommutabilem rationem sibimet cuncta consentient. Quibus expositis ad sequentem operis seriem conpetens disputatio convertatur.
 
 
III. Quod multiplex intervallum ex quibus superparticularibus medietate posita intervallis fiat eiusque inveniendi regula.

Si igitur duae primae superparticularis species coniungantur, prima species multiplicationis exoritur. Omnis enim duplex ex sesqualtero sesquitertioque componitur et omnis sesqualter et sesquitertius duplicem iungunt. Nam ternarius sesqualter est duorum, quattuor vero sesquitertius ternarii, sed .IIII. duplus duorum.

II. III. duplus, sesqualter, sesquitertius

Sic igitur sesqualter et sesquitertius unum duplicem componunt. At vero si fuerint medietas et duplus, inter duplicem et medium potest una medietas talis inveniri, quae ad alteram extremitatem sesqualtera sit, ad alteram sesquitertia. Altrinsecus enim positis senario et ternario, id est duplici et medietate, si quaternarius in medio conlocetur, ad ternarium numerum sesquitertiam continet rationem, ad senarium vero sesqualteram.

VI. III. duplus, sesqualter, sesquitertius

Recte igitur dictum est, et duplicem a sesqualtero sesquitertioque coniungi et has duas superparticularis species duplicem procreare, id est primam speciem multiplicis quantitatis. Rursus ex prima multiplicis specie id est ex duplici et prima superparticularis id est sesqualtera, continens multiplicis species id est tripla coniungitur. Namque .XII. senarii numeri duplus est, .X. vero et .VIII. ad duodenarium sesqualter, qui ad senarium numerum triplus est.

VI. XII. XVIII. duplus, sesqualter, triplus

Et si positis eisdem .VI. et .XVIII. novenarius numerus in medietate ponatur, erit ad senarium sesqualter, qui ad .XVIII. duplus est, et ad senarium .XVIII. triplus est.

VI. VIIII. XVIII. duplus, sesqualter, triplus

Ex duplici igitur et sesqualtero triplex ratio proportionis exoritur, et in eas rursus resolutione facta revocatur. Si autem hic, id est triplus numerus, qui est species secunda multiplicis, secundae speciei superparticularis aptetur, quadrupli continuo forma contexitur. Et in easdem rursus partes naturali partitione solvetur secundum modum, quem superius demonstravimus. Si vero quadruplus sese ac sesquiquartus adglomerent, quincuplus continuo fiet, et si quincuplus cum sesquiquinto, mox sescupli proportio coniugabitur, atque ita secundum hanc progressionem cunctae multiplicitatis species sine ulla rati ordinis permutatione nascentur, ita ut duplus cum sesqualtero triplicem creet, triplus cum sesquitertio quadruplum, quadruplus eum sesquiquarto quincuplum et eodem modo, ut nullus hanc continuationem finis inpediat.
 
 
IIII. De per se constante quantitate, quae in figuris geometricis consideratur; in quo communis ratio omnium magnitudinum.

Haec quidem de quantitate, quam secundum ad (?) aliquid speculamur, ad praesens dicta sufficiant. Nunc autem in hac sequentia quaedam de ea quantitate, quae per se ipsam constat, neque ad aliquid refertur, expediam, quae nobis ad ea prodesse possint, quae post haec rursus de relata ad aliquid quantitate tractabimus. Amat enim quodammodo matheseos speculatio alterna probationum ratione constitui. Nunc autem nobis de his numeris sermo futurus est, qui circa figuras geometricas et earum spatia demensionesque versantur, id est de linearibus numeris et de triangularibus vel quadratis ceterisque, quos sola pandit plana demensio, nec non de inaequali laterum compositione coniunctis; de solidis etiam, id est cybis et sphericis vel pyramidis, laterculis etiam vel tignulis et cuneis, quae omnia quidem geometricae propriae considerationis sunt, sed sicut ipsa geometriae scientia ab arithmetica velut quadam radice ac matre producta est, ita etiam eius figurarum semina in primis numeris invenimus, planum siquidem fecimus, quod omnes disciplinas haec interempta consumeret, quas minime constituta firmaret. Hoc autem cognoscendum est, quod haec signa numerorum, quae posita sunt, quae nunc quoque homines in summarum designatione describunt, non naturali institutione formata sunt. Ut enim quinarii subiectam notulam fingant de .V., vel denarii, quam descripsimus, id est de .X., et alias huiusmodi non natura posuit, sed usus adfinxit. Quinque enim unos, vel decem vel quotlibet alios illis notulis pro conpendio notare voluerunt, ne, quot unitates quis monstrare vellet, totiens ei virgulae ducerentur. Nos autem, quotienscunque aliquid monstrare volumus, in his praesertim formulis, ordinatarum virgularum multitudinem non gravamur apponere. Cum enim quinque volumus demonstrare, facimus quinque virgulas ducimusque eas hoc modo .IIIII. et cum septem, totidem, et cum decem, nihilo minus, quia naturalius est quemlibet numerum, quantas in se retinet, tot unitatibus adsignare quam notulis. Est igitur unitas vicem obtinens puncti, intervalli longitudinisque principium; ipsa vero nec intervalli nec longitudinis capax, quemadmodum punctum principium quidem lineae est atque intervalli, ipsum vero nec intervallum nec linea. Neque enim punctum puncto superpositum ullum efficit intervallum, velut si nihil nulli iungas. Nihil enim est, quod ex nullorum procreatione nascatur. Eadem quippe etiam circa aequalitates proportio manet. Nam si quotlibet fuerint termini pares, tantum quidem est a primo ad secundum, quantum a secundo ad tertium, sed inter primum et secundum vel secundum et tertium nulla est intervalli longitudo vel spatium. Si enim tres senarios ponas, hoc modo: VI. VI. VI. quemadmodum primus est ad secundum, sic est secundus ad tertium, sed inter primum et secundum nihil interest. .VI. enim et .VI. nulla spatii intervalla disiungunt. Ita etiam unitas in se ipsa multiplicata nihil procreat. Semel enim unum nihil aliud ex se gignit, quam ipsa est. Nam quod intervallo caret, etiam vim gignendi intervalla non recipit, quod in aliis numeris non videtur evenire. Omnis enim numerus in se ipsum multiplicatus alium quendam efficit maiorem, quam ipse est, idcirco, quoniam intervalla multiplicata maiore sese spatii prolixitate distendunt. Id vero, quod sine intervallo est, plus quam ipsa est pariendi non habet potestatem. Ex hoc igitur principio, id est ex unitate, prima omnium longitudo succrescit, quae a binarii numeri principio in cunctos sese numeros explicat, quoniam primum intervallum linea est. Duo vero intervalla sunt longitudo et latitudo, id est linea et superficies. Tria vero intervalla sunt: longitudo, latitudo, altitudo, id est linea, superficies atque soliditas. Praeter haec autem alia intervalla inveniri non possunt. Aut enim unum intervallum erit, quod longitudo est, aut aliquid duobus intervallis expositum est, ut si qua res longitudinem habeat et latitudinem, vel trina intervalli demensione porrigitur, si longitudine altitudine latitudineque censetur; supra quae adeo nihil inveniri potest, ut ipsorum .VI. motuum formae ad intervallorum naturas et numerum componantur. Unum enim intervallum duos in se continet motus, ut in tribus intervallis sex sese motuum summa conficiat hoc modo: Est enim in longitudine ante et retro, in latitudine sinistra et dextera, in altitudine sursum ac deorsum. Necesse est autem, ut quicquid fuerit solidum corpus, hoc habeat longitudinem latitudinemque et altitudinem, et quicquid haec tria in se continet, illud suo nomine solidum vocetur. Haec enim tria circa omne corpus inseparabili coniunctione versantur, et in natura corporum constituta sunt. Quare quicquid uno intervallo caret, illud corpus solidum non est. Nam quod duo sola intervalla retinet, illud superficies appellatur. Omnis enim superficies sola longitudine et latitudine continetur. Et hic eadem illa conversio remanet. Omne enim quod superficies est, longitudinem et latitudinem retinet, et quod haec retinet, illud est superficies. Haec autem superficies uno tantum intervallo solidi corporis demensione superatur, quae uno rursus intervallo lineam vincit, quae longitudinis naturam retinens latitudinis expers est; quae linea, quod unius est intervalli sortita naturam, a superficie uno intervallo, a soliditate duobus spatiis vincitur. Punctum igitur alio rursus intervallo a linea vincitur, ipsa scilicet, quae reliqua est, longitudine. Quare si punctum uno quidem intervallo a linea supergreditur, idem a superficie vincitur duobus, tribus vero intervalli demensionibus a soliditate relinquitur, constat punctum ipsum sine ulla corporis magnitudine vel intervalli demensione, cum et longitudinis et latitudinis et profunditatis expers sit, omnium intervallorum esse principium et natura insecabile, quod Graeci atomon vocant, id est ita deminutum atque parvissimum, ut eius pars inveniri non possit. Est igitur punctum primi intervalli principium, non tamen intervallum, et lineae caput, sed nondum linea, sicut linea quoque superficiei principium est, sed ipsa superficies non est, et secundi intervalli caput est, secundum tamen intervallum ipsa non retinet. Idem quoque et in superficiei rationem cadit, quae et ipsa solidi corporis et triplicis intervalli naturale sortitur initium, ipsa vero nec trina intervalli demensione distenditur, nec ulla crassitudine solidatur.
 
 
V. De numero lineari.

Sic etiam in numero unitas quidem, cum ipsa linearis numerus non sit, in longitudinem tamen distenti numeri principium est, et linearis numerus, cum ipse totius latitudinis expers sit, in aliud tamen spatium latitudinis extenti numeri sortitur initium. Superficies quoque numerorum, cum ipsa solidum corpus non sit, additi tamen latitudini solidi corporis caput est. Hoc autem planius his exemplis liquebit. Linearis numerus est a duobus inchoans adiecta semper unitate in unum eundemque ductum quantitatis explicata congeries, ut est id, quod subiecimus.
II. III. IIII. IIIII. IIIIII. IIIIIII. IIIIIIII. IIIIIIIII. IIIIIIIIII.
 
 
VI. De planis rectilineis figuris, quodque earum triangulum principium sit.

Plana vero superficies in numeris invenitur, quotiens a tribus inchoatione facta addita descriptionis latitudine insequentium se naturalium numerorum multitudine anguli dilatantur, ut sit primus triangulus numerus, secundus quadratus, tertius qui sub quinque angulis continetur, quem pentagonum Graeci nominant, quartus exagonus, id est qui sex angulis includitur et ceteri eodem modo singillatim per naturalem numerum angulos augeant in plana scilicet descriptione figurarum. Hi vero idcirco a ternario numero inchoant, quod latitudinis et superficiei solus ternarius principium est. In geometria quoque idem planius invenitur. Duae enim lineae rectae spatium non continent. Et omnis triangularis figura vel tetragoni vel pentagoni vel exagoni vel cuiuslibet, qui pluribus angulis continetur, si a medietate per singulos angulos lineae producantur, tot eum dividunt trianguli, quot ipsam figuram angulos habere contigerit. Quadratum enim ita ductae lineae in quattuor, pentagonum in quinque triangulos, exagonum in sex et ceteros in suorum angulorum modo mensuraque per triangulos partiuntur, ut est subiecta descriptio: quadratus in quattuor triangulos divisus,

pentagonus in V triangulos divisus,

exagonus in sex triangulos divisus. At vero triangula figura, cum eam quis ita diviserit, in alias figuras non resolvitur, nisi in se ipsam. In tria enim triangula dissipatur.

Triangulus in tres triangulos divisus:

Adeo haec figura princeps est latitudinis, ut ceterae omnes superficies in hanc resolvantur, ipsa vero, quoniam nullis est principiis obnoxia neque ab alia latitudine sumpsit initium, in sese ipsam solvatur. Idem autem et in numeris fieri, sequens operis ordo monstrabit.
 
 
VII. Dispositio triangulorum numerorum.

Est igitur primus triangulus numerus, qui in solis tribus unitatibus dissipatur secundum superficiei positionem, triangula scilicet descriptione, et post hunc quicunque aequalitatem laterum in trina laterum spatia segregant.

I. III. VI. X.

I, XV. XXI. XXVIII.
 
 
VIII. De lateribus triangulorum numerorum.

Ad hunc modum infinita progressio est, omnesque ex ordine trianguli aequilateri procreabuntur, primum omnium ponenti quod ex unitate nascitur ut haec vi sua triangulus sit, non tamen etiam opere atque actu. Nam si cunctorum mater est numerorum, quicquid in his, quae ab ea nascuntur, numeris invenitur, necesse est ut ipsa naturali quadam potestate contineat. Et huius trianguli latus est unitas. Ternarius vero, qui primus est opere et actu ipso triangulus, crescente unitate binarium numerum latus habebit. Vi enim et potestate primi trianguli, id est unitatis, unitas latus est, actu vero et opere trianguli primi, id est ternarii, dualitas, quam Graeci dyada vocant. Secundi vero trianguli, qui opere atque actu secundus est, id est senarii, crescente naturali numero in lateribus ternarius invenitur; tertii vero, id est denarii, quaternarius latus continet; quarti vero, id est .XV., quinarius latus tenet, et quinti senarius idemque est usque in infinitum.
 
 
VIIII. De generatione triangulorum numerorum.

Nascuntur autem trianguli disposita naturali quantitate numerorum, si prioribus semper multitudo sequentium congregetur. Disponatur enim naturalis numerus hoc modo:
I. II. III. IIII. V. VI. VII. VIII. VIIII.

Ex his igitur si primum sumam, id est unitatem, habeo primum triangulum, qui est vi et potestate, nondum etiam actu nec opere. Huic si secundum adgregavero, qui in naturali numerorum dispositione descriptus est, id est binarium, primus mihi triangulus opere et actu nascitur, id est ternarius. Si vero huic tertium ex naturali numero adiecero, secundus mihi opere et actu triangulus procreatur. Super unum enim et duo si tertium, id est ternarium adgregavero, senarius extenditur, secundus scilicet triangulus. Huic vero si consequentem quaternarium superposuero, denarius explicatur, qui est tertius actu triangulus, quos per latera disponens ad superioris descriptionis exemplar cunctos triangulos numeros sine ullius dubitationis erroribus pernotabis. Et quantas ultimus numerus in se unitates habet, quem superioribus adgregabis, tot ipse, qui fit triangulus, unitates habebit in latere. Nam ternarium, qui est primus actu triangulus, adiecto binario unitati feceramus; et hic duos habet in latere. Et senarium his adiecta ternarii quantitate produximus, cuius latus soli tres continent; et idem in aliis cunctis, quot unitates habentem numerum superioribus adgregabis, tot unitatibus eius latera continebuntur.
 
 
X. De quadratis numeris.

Quadratus vero numerus est, qui etiam ipse quidem latitudinem pandit, sed non tribus angulis ut superior forma, sed quattuor ipse quoque aequali laterum demensione porrigitur.Sunt autem huius modi:

I. IIII. VIIII. XVI.
 
 
XI. De eorum lateribus.

Sed in his quoque secundum naturalem numerum laterum augmenta succrescunt. Primus enim vi et potentia quadratus, id est unitas, unum habet in latere; secundus vero, qui actu primus est, id est quattuor, duobus per latera positis continetur; tertius vero, id est .VIIII., qui secundus est opere, tribus in latere positis adgregatur. Et ad eandem sequentiam cuncti procedunt.
 
 
XII. De quadratorum numerorum generatione rursusque de eorum lateribus.

Nascuntur autem tales numeri ex naturalis numeri dispositione, non quemadmodum superiores trianguli, ut ordinatis ad se invicem numeris congregentur, sed uno semper intermisso, qui sequitur, si cum superiore vel superioribus colligatur, ordinatos ex se quadratos efficient. Disponatur enim numerus naturalis hoc modo:
I. II. III. IIII. V. VI. VII. VIII. VIIII. X. XI.

Ex his igitur si unum respiciam, primus mihi natus est potestate quadratus. Quod si uno relicto priori tertium iunxero secundus mihi quadratus efficitur. Nam si uni relicto binario ternarium adposuero, quaternarius mihi quadratus exoritur. Quod si rursus relicto medio quaternario quinarium similiter adgregavero, quadratus mihi tertius, id est novenarius, procreatur. Unus enim et .III. et .V. .VIIII. colligunt. At vero si his intermisso senario septenarium iungam tota in sedecim summa concrescit, id est quarti quadrati numerositas. Et ut breviter huius forma procreationis appareat, si cuncti inpares sibimet adponantur conlocato scilicet naturali numero, quadratorum ordo texetur. Est etiam in his haec naturae subtilitas et inmutabilis ordinatio, quod tot unitates unusquisque quadratorum retinebit in latere, quanti fuerint numeri ad coniunctionem propriam congregati. Nam in primo quadrato, quoniam ex uno fit, unus est in latere, in secundo, id est quaternario, quoniam ex uno et tribus procreatur, qui duo sunt termini, binario latus texitur. Et in novenario, quoniam tribus numeris procreatur, latus ternario continetur, atque idem in aliis videre licet.
 
 
XIII. De pentagonis eorumque lateribus.

Pentagonus vero numerus est, qui ipse quidem in latitudinem secundum unitatem descriptis quinque angulis continetur. Cunctis scilicet lateribus aequali demensione dispositis. Sunt autem hi I. V. XII. XXII. XXXV. LI. LXX. Eodem quoque modo eorum latera succrescunt. Nam primi potestate pentagoni, id est unius, idem unus spatium lateris tenet, secundi vero quinarii, qui est actu ipso atque opere primus pentagonus, bini per latera fixi sunt; tertius vero, id est .XII., tribus in latus auctus est; quartus .XXII. quattuor numerorum in latere quantitate distenditur; atque idem in ceteris secundum unitatis progressionem. In naturali scilicet numero secundum superiorum figurarum incrementa tenduntur.

I. V, XII. XXII. XXXV.
 
 
XIIII. De generatione pentagonorum.

Nascuntur autem hi numeri, qui extensi in latitudinem .V. angulos pandunt, ab eadem naturalis numeri quantitate in se coacervata, ita ut duobus semper interiectis numeris superiori vel superioribus vincens ternario eum, cui iungendus est, adgregetur. Namque unitati intermissis duobus et tribus si .IIII. iungas, qui tribus ipsam superant unitatem, quinarius pentagonus procreabitur. Post .IIII. vero si intermisso quinario et senario septem adgreges, duodenarium pentagonum procreabis. Namque unus et .IIII. et .VII. numeri .XII. explebunt. Hoc etiam in aliis fiet. Nam si .X. vel .XIII. vel .XVI. vel .XVIIII. vel .XXII. vel .XXV. superioribus cunctis adiunxeris, eodem quo superius modo pentagoni fient, secundum superiorem descriptionem: XXII. XXXV. LI. LXX. XCII. CXVII.
 
 
XV. De exagonis eorumque generationibus.

Exagoni autem, qui sex angulis, et eptagoni, qui .VII. rursus lateribus continentur, secundum hunc modum eorum laterum augmenta succrescunt. Namque in trianguli numeri natura procreationeque ipsos numeros iungebamus qui sese in naturali dispositione sequerentur et se tantum unitate transirent. Quadrati vero numeri, id est tetragoni, procreatio fiebat ex numeris, qui uno intermisso copulabantur, cum se binario superarent. Pentagoni vero natura fuit ex duobus interpositis relictisque, qui se ternario vincerent. Secundum talia quoque augmenta exagonorum vel eptagonorum vel octogonorum vel novem laterum figura vel .X. quotlibet aliorum conpetenti progressione conficitur. Ut enim in pentagono duobus intermissis eos iungebamus, qui se ternario superarent, nunc in exagono tribus intermissis eos iungemus, qui se quaternario transeant, et erunt quidem eorum radices et fundamenta, ex quibus iunctis omnes exagoni nascuntur: I. V. VIIII. XIII. XVII. XXI. et ad eundem ordinem consequentes. Atque ab his sex angulorum formae nascuntur: I. VI. XV. XXVIII. XLV. LXVI. quos ad superiorem modum scilicet descriptos in propriis ordinibus pernotabis.
 
 
XVI. De eptagonis eorumque generationibus et communis omnium figurarum inveniendae generationis regula descriptionesque figurarum.

Septem vero angulorum figura est, cum ad eundem ordinem progressionis uno plus quam in sexangulorum figura numero intermisso superiori coniunxeris. Nam si quattuor interpositis, qui se quinario vincant, adgregaveris, eptagoni continuo figura nascetur, ut hi numeri sint eorum radices et, ut superius dictum est, fundamenta: I. VI. XI. XVI. XXI. Qui vero ex his constant, hi sunt: I. VII. XVIII. XXXIIII. LV. Novem vero angulorum secundum eundem ordinem forma procreatur ita, ut secundum aequalem progressionem primi quoque eorum numeri distent. Nam in triangulo qui sunt numeri, quae prima superficiei figura est, uno sese tantum numeri praecedunt, qui scilicet, eorum naturam descriptionemque perficiunt; in tetragono vero, qui secundus est, duobus sese iuncti numeri vincunt, et in pentagono tribus et in exagono .IIII. et in eptagono quinque, huiusque rei nullus est modus. Hoc autem nos subiectarum formarum descriptiones docebunt.

I. II. III. IIII. V. VI. VII. VIIII. X. XII. XVI. XXII. XXV.

I. V. VI. VIIII. XIII. XV. XXVIII.
 
 
XVII. Descriptio figuratorum numerorum in ordine.

Similiter autem licebit et aliarum formarum, quae pluribus angulis continentur quantitates adscribere. Sed quoniam facilius oculis subiecta retinentur supradictarum formarum numerositas in subteriore descriptione ponatur.

I. III. IIII. V. VI. VII. VIIII. X. XII. XV. XVI. XVIII. XXI. XXII. XXV. XXVIII. XXXIIII. XXXV. XXXVI. XLV. XLVIIII. LI. LV. LXIIII. LXVI. LXX. LXXXI. XCI. XCII. C. CXII. CXVII. CXX. CXLV. CXLVIII. CLIII. CLXXXVIIII. CXC. CCXXXV. Trianguli. Quadrati. Pentagoni. Exagoni. Eptagoni.
 
 
XVIII. Qui figurati numeri ex quibus figuratis numeris fiant, inque eo quod triangulus numerus omnium reliquorum principium sit.

His igitur ita sese habentibus quid in hac re sit consequens vestigemus. Omnes enim tetragoni, qui sub triangulis sunt naturali ordinatione dispositi, ex superioribus triangulis procreantur illorumque collectione quadrati figura componitur. Quattuor enim tetragonus fit ex uno et tribus, id est ex duobus superioribus triangulis; novenarius vero ex tribus et sex, sed utrique sunt trianguli; at .XVI. ex decem et sex; et .XXV. ex .X. et .XV. Idemque in sequenti ordine quadratorum constans atque inmutabile repperitur. Pentagonorum vero summae conficiuntur ex uno super se tetragono et altrinsecus triangulo constituto. Nam quinarius pentagonus ex quaternario super se posito tetragono et ex uno, qui in triangulorum ordine ponitur, adgregatur. .XII. vero pentagonus ex novenario super se quadrato et tribus, secundo triangulo, nascitur. .XXII. vero ex .XVI. et .VI., quadrato scilitet atque triangulo; et .XXXV. ex .XXV. et .X. Et in ordinem ad eundem modum intuentem nulla cunctatio contrarietatis inpediet. At vero si exagonos librata examinatione perspicias, ex eisdem triangulis et super se positis pentagonis procreantur. Namque .VI. exagonus ex quinario pentagono et uno, qui est in triangulorum ordine dispositus, nascitur. Nec alia est origo .XV. exagoni nisi ex duodenario pentagono et ternario triangulo. Quod si .XXVIII. rursus exagonum ex quibus superioribus nascatur addiscas, nullos invenies nisi .XXII. pentagonum senariumque triangulum. Atque hoc in ceteris. Nec hunc geniturae ordinem eptagonorum procreatio refutabit. Namque ex super se exagonis et ex eminus positis triangulis procreantur. Septenarius enim eptagonus nascitur ex senario exagono et uno potestate triangulo; .XVIII. vero eptagonus ex .XV. exagono et ternario triangulo coniungitur; et .XXXIIII. ex .XXVIII. scilicet exagono et senario triangulo; atque hoc in cunctis inoffensum repperire licet. Videsne igitur, ut primus omnium triangulus cunctorum summas efficiat et omnium procreationibus misceatur?
 
 
XVIIII. Pertinens ad figuratorum numerorum descriptionem speculatio.

Hi vero omnes, si ad latitudinem fuerint comparati, id est trianguli tetragonis vel tetragoni pentagonis vel pentagoni exagonis vel hi rursus eptagonis, sine aliqua dubitatione triangulis sese superabunt. Nam si ternarium triangulum quaternario, vel quaternarium tetragonum quinario, vel quinarium pentagonum senario exagono, vel senarium septenario eptagono compares, primo se triangulo, id est sola transeunt unitate. At vero si senarius contra novenarium, vel hic contra .XII., vel hic contra .XV., vel quindecim contra .X. et .VIII., pro inveniendis differentiis comparentur, secundo se triangulo, id est ternario superabunt. .X. vero ad .XVI. et .XVI. ad .XXII. et .XXII. ad .XXVIII. et .XXVIII. ad .XXXIIII. si componas, tertio se triangulo vincent, id est senario. Atque hoc rite notabitur in aliis cunctis sequentibus sese perspectum omnesque se triangulis antecedent. Quare perfecte, ut arbitror, demonstratum est, omnium formarum principium elementumque esse triangulum.
 
 
XX. De numeris solidis.

Hinc vero ad figuras solidas facilior via est. Praecognito enim, quid in planis numerorum figuris vis ipsa quantitatis naturaliter operetur, ad solidos numeros non erit ulla cunctatio. Sicut enim longitudini numerorum aliud intervallum, id est superficiem, ut latitudo ostenderetur, adiecimus, ita nunc latitudini si quis addat eam, quae alias altitudo alias crassitudo alias profunditas appellatur, solidum numeri corpus explebit.
 
 
XXI. De pyramide, quod ea sit solidarum figurarum principium sicut triangulus planarum.

Videtur autem, quemadmodum in planis figuris triangulus numerus primus est, sic in solidis, qui vocatur pyramis, profunditatis esse principium. Omnium quippe ratarum in numeris figurarum necesse est invenire primordia. Est autem pyramis alias a triangula basi in altitudinem sese erigens, alias a tetragona, alias a pentagona et secundum sequentium multitudines angulorum ad unum cacuminis verticem sublevata. Posito enim triangulo atque descripto si per tres angulos singulae lineae recte stantes ponantur, haeque tres inclinentur, ut ad unum medium punctum vertices iungant, fit pyramis, quae, cum a triangula basi profecta sit, tribus triangulis per latera concluditur hoc modo: Sit .a.b.c. triangulum. Si huic igitur triangulo per tres angulos erigantur lineae et ad unum punctum convertantur, quod est .d., ita ut .d. punctum non sit in plano, sed pendens, illae scilicet lineae ad ipsum erectae verticem et quodammodo cacumen .d. facient et erit basis .a.b.c. unum triangulum, per latera vero tria triangula, id est unum triangulum a. d. b, aliud vero b. d. c, tertium c. d. a.

a, b, c, d
 
 
XXII. De his pyramidis, quae a quadratis vel a ceteris multiangulis proficiscuntur figuris.

Idem si a tetragona basi proficiscatur et ad unum verticem eius lineae dirigantur, erit pyramis quattuor triangulorum per latera, uno tantum tetragono in basi posito, super quam ipsa figura fundata est. Et si a pentagono surgant .V. lineae, quinque rursus pyramis triangulis continebitur, et si ab exagono, sex triangulis nihilominus; et quantoscunque angulos habuerit figura, super quam pyramis residet, tot ipsa per latera triangulis continetur, ut ex subiectis descriptionibus palam est.

a, b, c, d, e, f, g
 
 
XXIII. Solidorum generatio numerorum.

Dicuntur autem huiusmodi pyramides hoc modo: prima pyramis de triangulo, secunda pyramis de tetragono, tertia pyramis de pentagono, quarta pyramis de exagono, quinta pyramis de eptagono, idemque in ceteris constat numeris. Nam quoniam lineares numeros esse diximus, qui ab uno profecti in infinitum currerent, ut sunt I. II. III. IIII. V. VI. VII. VIII. VIIII. X., his autem ordinatim compositis et ad se invicem cum distantia iunctis superficies nascebantur, ut, si unum et duo iungeres, primus triangulus nasceretur, id est tres, et cum his adiungeremus tertium, id est ternarium, senarius triangulus rursus occurreret, et post hos tetragoni uno intermisso, pentagoni vero duobus, exagoni tribus, eptagoni relictis quattuor nascebantur: nunc vero ad solidorum corporum procreationem ipsae nobis superficies naturaliter figuratae provenient. Et ad faciendas quidem pyramidas a triangulo ipsi nobis trianguli componendi sunt; ad procreandas vero pyramidas a tetragono tetragoni; ad eas vero, quae sunt a pentagono pentagoni copulandi sunt. Et illae, quae sunt ab exagono vel eptagono non nisi exagonorum vel eptagonorum copulatione nascentur. Primus ergo potestate triangulus est unitas eandemque etiam ponimus virtute pyramidam; secundus vero triangulus est ternarius, quem si cum primo coniunxero, id est cum unitate, quaternaria mihi profunditas pyramidis excrescit. At vero si his tertium, senarium, iunxero denaria pyramidis procreabitur altitudo. His si denarium iunxero viginti numerorum pyramis veniet, atque ita in cunctis aliis eadem ratio copulationis est.

Trianguli.
I. III. VI. X. XV. XXI. XXVIII. XXXVI. XLV. LV.

Pyramides a triangulis.
I. IIII. X. XX. XXXV. LVI. LXXXIIII. CXX. CLXV. CCXX.

In hac igitur coniunctione necesse est, ut semper, qui ultimus est coniugatorum numerorum, is quasi quodammodo basis sit. Cunctis enim latior invenitur. Et qui ante ipsum numeri coniungantur, minores esse necesse est, usque dum ad unitatem detractio rata perveniat, quae puncti quodammodo et verticis obtineat locum. Namque in .X. pyramide super sex additi sunt tres atque unus, qui senarius superat ternarium quantitate, ipsi vero tres unum pluralitate transcendunt, qui unus extremum terminum progressionis offendit. Similis quoque ratio in ceteris perspici potest, si eorum procreationes diligentius volueris perscrutari. Illae quoque, quae sunt a tetragono pyramides, eadem tetragonorum super se compositione nascuntur. Descriptis enim cunctis tetragonis, id est I. IIII. VIIII. XVI. XXV. XXXVI. XLVIIII. LXIIII. LXXXI. C., si unitatem primam ex hac dispositione praesumam, erit mihi potestate et vi pyramis ipsa unitas, nondum etiam opere atque actu. At si huic tetragonum superponam, id est quattuor, nascetur pyramis quinque numerorum, quae duobus tantum numeris per latera positis continetur. Sin vero his sequentes novem adiecero, fiet mihi quattuordecim numerorum forma pyramidis, quae per latera tribus unitatibus concludatur. Atque huic si sequentem tetragonum .XVI. superponam, tricenaria mihi pyramidis forma producitur. In his quoque omnibus pyramidis tot erunt unitates per latera, quantae in se numerorum adgregatae fuerint quantitates. Nam unitas, quae prima pyramis est, unum solum, id est se ipsam gerit in latere, quinaria vero, quae constat ex uno et quattuor, duobus per latera designatur, et XIIII., quae ex tribus numeris compositis fit, ternario numero in latere posito constituitur. Hanc autem pyramidum generationem monstrat subiecta descriptio.

Tetragoni.
I. IIII. VIIII. XVI. XXV. XXXVI. XLVIIII. LXIIII. LXXXI. C.

Pyramides a tetragonis.
I. V. XIIII. XXX. LV. XCI. CXL. CCIIII. CCLXXXV. CCCLXXXV.

Et ad eundem modum cunctae a ceteris multiangulis profectae formae in altioris summae spatia producuntur. Omnis enim multorum angulorum forma ex sui generis figura unitati superposita ab uno ingredientibus ad pyramidum constituendas figuras usque in infinita progreditur et ex hoc equidem apparere necesse est, triangulas formas ceterarum figurarum esse principium, quod omnis pyramis a quacunque basi profecta vel a quadrato, vel a pentagono, vel ab exagono, vel ab eptagono vel a quocunque similium solis triangulis usque ad verticem continetur.
 
 
XXIIII. De curtis pyramidis.

Scire autem oportet, quae sint curtae pyramides, vel quae his curtae, vel quae ter curtae vel quater et deinceps secundum numerorum adiectionem. Perfecta enim pyramis est, quae a qualibet basi profecta usque ad primam vi et potestate pyramidam pervenit, unitatem. Sin vero a qualibet basi profecta usque ad unitatem altitudo illa non venerit, curta vocabitur, recteque huiusmodi pyramis tali nuncupatione signatur, si usque ad extremitatem punctumque non venerit. Haec autem est, ut si quis .XVI. tetragono adiciat .VIIII. atque huic .IIII. et ab ulterioris sese unitatis adiectione suspendat. Pyramidis equidem figura est, sed quoniam usque ad cacumen verticis non excrevit, curta vocabitur et habebit summitatem non iam punctum, quod unitas est, sed superficiem, quod est quilibet numerus secundum basis ipsius angulos porrectus atque ultimus adgregatus. Nam si tetragona fuerit basis, quadrata deminutione semper ascendit, et si pentagona basis, similiter, et si exagona, illa quoque ultima superficies erit exagona. Ergo in curta pyramide tot erit angulorum superficies, quot fuerit basis. Si vero illa pyramis non solum ad unitatem extremitatemque non pervenit, sed nec ad primum quoque opere et actu multiangulum eius generis, cuius fuerit basis, bis curta vocabitur; ut si a .XVI. tetragono proficiscens usque in novem terminum ponat neque excrescat ad quattuor. Et quotcunque tetragoni defuerint, totiens eam curtam esse dicemus; ut si unitas defuerit, primus quadratus, curtam, quam Graeci kolouron vocant; si vero duobus tetragonis deficitur, id est unitate et eo, qui sequitur, vocatur bis curta, quod Graeci dikolouron appellant. Quod si tribus tetragonis, ter curta dicetur, quam Graeci trikolouron nominant. Et quotcunque tetragoni fuerint minus, totiens illam pyramidem curtam esse proponimus. Hoc autem non solis a tetragono pyramidis sed in omnibus ab omni multiangulo progredientibus speculari licet.
 
 
XXV. De cybis vel asseribus vel laterculis vel cuneis vel sphericis vel parallelepipedis numeris.

Ac de solidis quidem, quae pyramidis formam obtinent, aequaliter crescentibus et a propria velut radice multiangula figura progredientibus dictum est. Est alia rursus quaedam corporum solidorum ordinabilis compositio, eorum qui dicuntur cybi vel asseres vel laterculi vel cunei vel spherae vel parallelepipeda, quae sunt, quotiens superficies contra se sunt, et ductae in infinitum nunquam concurrent. Dispositis enim in ordinem tetragonis I. IIII. VIIII. XVI. XXV., quoniam hi solam longitudinem latitudinemque sortiti sunt et altitudine carent, si per latera solam unam multiplicationem recipiant, aequalem provehunt profunditatem. Nam quattuor tetragonus duos habet in latere et natus est ex bis duobus. Bis enim duo quattuor faciunt. Hos ergo duos ex ipsius latere si multiplices aequaliter, cybi forma nascetur. Nam si bis binos bis facias, octonaria quantitas crescit. Et est primushic cybus. .VIIII. vero tetragonus, quoniam tres habet in latere et factus est ex tribus in se multiplicatis, si ei unam lateris multiplicationem adiunxeris, rursus alius cybus aequabili laterum formatione concrescit. Ter enim tres si tertio duxeris, .XXVII. cybi figura producitur. Et .XVI., qui est ex quattuor, si quater augescat, .LXIIII. cybus pari laterum demensione crassabitur. Et sequentes quidem tetragoni secundum eundem modum multiplicatione facta provehuntur. Tot autem necesse est unitates cybus habeat in latere, quot habuit primus ille tetragonus, ex quo ipse productus est. Nam quoniam quattuor tetragonus duos tantum numeros habet in latere, duos quoque habet octonarius cybus. Et quoniam .VIIII. tetragonus tribus per latus unitatibus signabatur, solo ternario .XXVII. cybi latus urgetur. Et quoniam .XVI. tetragonus .IIII. unitatum latus habebat, totidem .LXIIII. cybus in latere gestabit unitates. Quare etiam vi et potestate cybi, quod est unitas, unus erit in latere. Omnis enim tetragonus una quidem superficies est quattuor angulorum, totidemque laterum. Omnis autem cybus, qui ex tetragonorum superficie in profunditatem corporis crevit, per tetragoni scilicet latus multiplicatus, habebit quidem superficies .VI., quarum singula planitudo tetragono illi priori aequalis est, latera vero .XII., quorum unumquodque singulis his, quae superioris fuere tetragoni, aequum est, et, ut superius demonstravimus, tot unitatum est; angulos vero .VIII., quorum singulus sub tribus eiusmodi continetur, quales priores fuere tetragoni, unde cybus ipse productus est. Ergo ex naturaliter profuso numero qui in subiecta forma descripti sunt subiecti tetragoni nascuntur, et ex his tetragonis qui subnotati sunt cybi provehuntur.

Numerus naturalis:
I. II. III. IIII. V. VI. VII.

Tetragoni:
I. IIII. VIIII. XVI. XXV. XXXVI. XLVIIII.

Cybi:
I. VIII. XXVII. LXIIII. CXXV. CCXVI. CCCXLIII.

Et quoniam omnis cybus ab aequilateris quadratis profectus aequus ipse omnibus partibus est -- nam et latitudini longitudo et his duobus compar est altitudo -- et secundum sex partes, id est sursum deorsum dextra sinistra ante post, sibi aequalem esse necesse est: huic oppositum contrariumque esse oportebit qui neque longitudinem latitudini neque haec duo profunditati gerat aequalia, sed cunctis inaequalibus, quamvis solida sit figura, ab aequalitate cybi longissime distare videatur. Hi autem sunt, ut si quis faciat bis tres quater, vel ter quattuor quinquies et alia huiusmodi, quae per inaequales spatiorum gradus inaequaliter provehuntur. Haec autem forma Graeco nomine scalenos vocatur. Nos vero gradatum possumus dicere, quod a minore modo velut gradibus crescat ad maius. Vocant autem eandem figuram Graeci quidam spheniscon; nos autem cuneum possumus dicere. Etenim quos ad quamlibet illam rem constringendam cuneos formant neque latitudinis neque longitudinis neque altitudinis habita ratione, quantum commodum fuerit, tantum vel altitudini minuitur, vel crassitudini profunditatis augetur. Atque ideo hos plerumque necesse est omnibus partibus inaequalibus inveniri. Quidam vero hos bomiscos vocant, id est quasdam arulas, quae in Ionica Graeciae regione, ut ait Nicomachus, hoc modo formatae fuerunt, ut neque altitudo latitudini neque haec longitudini convenirent. Vocatur autem aliis quibusdam nominibus, quae nunc persequi supervacuum iudicavimus. Igitur cybi aequalibus se spatiis porrigentis et huius formae, quam diximus, gradata distributione dispositae medietates sunt, quae neque cunctis partibus aequales sunt, neque omnibus inaequales, quos Graeci parallelepipedos vocant. Latini nomen hoc ita uniformiter compositum habere non possunt, ut tamen idem pluribus dictum sit. Ea namquc hoc nomine vocatur figura, quae alternatim positis latitudinibus continetur.
 
 
XXVI. De parte altera longioribus numeris eorumque generationibus.

Huiusmodi vero formas quales sunt, quae vocantur a Graecis eteromekeiV, nos dicere possumus parte altera longiores. Quarum figurarum numerus hoc modo definiendus est: Parte altera longior est numerus, quem si in latitudinem describas et ipse quidem quattuor venit laterum et quattuor angulorum, sed non cunctis aequalibus sed semper minus uno. Namque nec latera lateribus cuncta cunctis aequa sunt, nec longitudini latitudo, sed, ut dictum est, cum hinc altera pars maior fuerit, uno tantum minorem praecedit ac superat. Si enim numerum naturalem disponas in ordinem, et secundum per primum multiplices, talis nascitur numerus, vel si secundum per tertium, vel si tertium per quartum, vel si quartum per quintum, omnesque hi unitate tantum addita, multiplicentur, nascentur parte altera longiores. Disponatur enim numerus naturalis I. II. III. IIII. V. VI. VII. Et nunc quidem hactenus. Si quis igitur faciat unum bis, faciet .II., et rursus bis tres, faciet .VI., ter quattuor, faciet .XII., quater quinque, faciet .XX., et hoc ad eundem ordinem. Quicunque igitur facti sunt, procreabuntur parte altera longiores, ut subiecta descriptio docet, in qua, ex quibus numeris multiplicati nascuntur parte altera longiores, super adscripti sunt, qui vero nascuntur, subterius sunt notati.

I. II. III. IIII. V. VI. VII. XII. XX. XXX. XLII.
 
 
XXVII. De antelongioribus numeris et de vocabulo numeri parte altera longioris.

Ergo si unitate tantum discrepent, qui multiplicantur, descripti superius numeri protenduntur, sin vero aliquo numero, ut ter .VII. vel ter .V. vel aliquo modo alio, et non eorum latera sola discrepent unitate, non vocabitur hic numerus parte altera longior, sed antelongior. Alterum enim apud Pythagoram vel sapientiae eius heredes nulli alii nisi tantum binario adscribebatur. Hunc alteritatis principium esse dicebant, eandem autem naturam et semper sibi similem consentientemque nullam aliam nisi primaevam ingeneratamque unitatem. Binarius autem, numerus primus, est unitati dissimilis, idcirco quod primus ab unitate disiungitur. Atque ideo alteritatis cuiusdam principium fuit, quod ab illa prima et semper eadem substantia sola tantum est unitate dissimilis. Merito ergo dicentur hi numeri parte altera longiores, quod eorum latera unius tantum sese adiecta numerositate praecedunt. Argumentum autem est, alteritatem in binario numero iuste constitui, quod non dicitur alterum nisi e duobus ab his, inter quos bene loquendi ratio non neglegitur. Amplius, quod inpar numerus sola perfici unitate monstratus est, par vero sola dualitate, id est solo binario numero. Nam cuiuscunque medietas unus est, ille inpar est, cuius vero duo, hic paritate recepta in gemina aequa disiungitur. Quare dicendum est, inparem numerum eiusdem atque in sua se natura tenentis inmutabilisque substantiae esse participem, idcirco quod ab unitate formetur, parem vero alterius plenum esse naturae, idcirco quod a dualitate conpletur.
 
 
XXVIII. Quod ex inparibus quadrati, ex paribus parte altera longiores fiant.

At vero positis in ordinem ab unitate inparibus et sub his a dualitate paribus descriptis coacervatio inparium tetragonos facit, coacervatio parium superiores efficit parte altera longiores. Quare quoniam tetragonorum haec natura est, ut ab inparibus procreentur, qui sunt unitatis participes, id est eiusdem inmutabilisque substantiae, cunctisque partibus suis aequales sint, quod et anguli angulis et latera lateribus et longitudini compar est latitudo, dicendum est, huiusmodi numeros eiusdem naturae atque inmutabilis substantiae participes, illos vero numeros, quos parte altera longiores paritas creat, alterius dicemus esse substantiae. Nam quemadmodum unus a duobus uno tantum alter est, sic horum latera a se tantum uno sunt altera et una tantum differunt unitate. Quare disponantur in ordinem omnes ab uno inpares et sub his omnes a binario numero pares.

I.  III.  V.  VII.  VIIII. XI.  XIII.
II. IIII. VI. VIII. X.     XII. XIIII.

Radices. I. III. V. VII. VIIII. XI. Tetragoni id est quadrati. IIII. XVI. XXV. XXXVI. II. VI. VIII. X. XII. Parte altera longiores. XII. XX. XXX. XLII.
 
 
XXVIIII. De generatione laterculorum eorumque definitione.

Quos autem superius laterculos diximus, quae sunt et ipsae quidem solidae figurae, hoc modo fiunt, quotiens aequalibus spatiis in longitudinem latitudinemque porrectis minor his additur altitudo, ut sunt huius modi: tres ter bis, qui sunt .XVIII. vel quattuor quater bis, vel alio quo modo, ut his in latitudinem longitudinemque aequis minor altitudo ducatur. Hi definiuntur hoc modo: Laterculi sunt, qui fiunt ex aequalibus aequaliter in minus. Asseres vero et ipsae quidem figurae sunt solidae sed hoc modo, ut ex aequalibus aequaliter ducantur in maius. Nam si aequa fuerit latitudo longitudini et maior sit altitudo, illae figurae a nobis asseres, a Graecis docides nominantur. Ut si quis hoc modo faciat: .IIII. quater novies, qui inde procreantur, asseres nominati sunt. Sphenisci vero, quos cuneolos superius appellavimus, hi sunt, qui ex inaequalibus inaequaliter ducti per inaequalia creverunt, cybi vero, qui ex aequalibus aequaliter per aequalia producti sunt.
 
 
XXX. De circularibus vel sphericis numeris.

Ipsorum vero cyborum quanticunque fuerint ita ducti, ut a quo numero cybicae quantitatis latus coeperit, in eundem altitudinis extremitas terminetur, numerus ille cyclicus vel sphericus appellatur; ut sunt multiplicationes, quae a quinario vel a senario proficiscuntur. Nam quinquies quinque, qui fit .XXV., ab .V. progressus in eosdem desinit .V. Et si hos rursus quinquies ducas, in eosdem .V. eorum terminus veniet. Quinquies enim .XXV. fiunt. .CXXV. et si hos rursus quinquies ducas, in quinarium numerum extremitas terminabitur. Atque hoc usque in infinitum idem semper eveniet. Quod in senario quoque convenit considerari. Hi autem numeri idcirco cyclici vel spherici vocantur, quod sphera vel circulus in proprii semper principii reversione formantur. Est enim circulus posito quodam puncto et alio eminus defixo illius puncti, qui eminus fixus est, aequaliter distans a primo puncto circumductio et ad eundem locum reversio, unde moveri coeperat. Sphera vero est semicirculi manente diametro circumductio et ad eundem locum reversio, unde prius coeperat ferri. Unitas quoque virtute et potestate ipsa quoque circulus vel sphera est. Quotiens enim punctum in se multiplicaveris, in se ipsum, unde coeperat, terminatur. Si enim faciat semel unum, unus redit, si hoc semel, idem est, et si hoc rursus semel, idem est. Igitur si una fuerit multiplicatio, solam planitudinem reddit et fit circulus, si secunda, mox sphera conficitur. Etenim secunda multiplicatio effectrix semper est profunditatis. Ex .V. igitur et .VI. paucas huiusmodi formas subscripsimus.

I. V. VI. XXV. XXXVI. CXXV. CCXVI. DCXXV. I(macron supra lin.)CCXCVI. III(macron supra lin.)CXXV. VII(macron supra lin.). DCCLXXVI.
 
 

ad libri secundi capitula XXXI - LIIII.