.....
.....
.....
Experiare igitur licet, quantum nobis in hoc studio longis tractus otiis
labor adiecerit, an rerum subtilium fugas exercitatae mentis velocitas
conprehendat, utrum ieiunae macies orationis ad ea, quae sunt caligantibus
inpedita sententiis expedienda sufficiat. Qua in re mihi alieni quoque
iudicii lucra quaeruntur, cum tu utrarumque peritissimus litterarum possis
Graiae orationis expertibus quantum de nobis iudicare audeant, sola tantum
pronuntiatione praescribere. At non alterius obnoxius institutis artissima
memet ipse translationis lege constringo, sed paululum liberius evagatus
alieno itineri, non vestigiis, insisto. Nam et ea, quae de numeris a Nicomacho
diffusius disputata sunt, moderata brevitate collegi et quae transcursa
velocius angustiorem intellegentiae praestabant aditum mediocri adiectione
reseravi, ut aliquando ad evidentiam rerum nostris etiam formulis ac descriptionibus
uteremur. Quod nobis quantis vigiliis ac sudore constiterit, facile sobrius
lector agnoscet. Cum igitur quattuor matheseos disciplinarum de arithmetica,
quae est prima, perscriberem, tu tantum dignus eo munere videbare, eoque
magis inerrato opus esse intellegebam. Nam etsi apud te facilis veniae
locus esset, aliquando tamen ipsam formidabat facilitatem suspecta securitas.
Arbitrabar enim nihil tantae reverentiae oblatum iri oportere, quod non
elaboratum ingenio, perfectum studio, dignum postremo tanto otio videretur.
Non igitur ambigo, quin pro tua in me benevolentia supervacua reseces,
hiantia suppleas, errata reprehendas, commode dicta mira animi alacritate
suscipias. Quae res inpulit pigram consilii moram. Nimios enim mihi fructus
placitura restituent. Novi quippe, quanto studiosius nostra quam ceterorum
bona diligamus. Recte ergo, quasi aureos Cereri culmos et maturos Baccho
palmites, sic ad te novi operis rudimenta transmisi. Tu tantum paterna
gratia nostrum provehas munus. Ita et laboris mei primitias doctissimo
iudicio consecrabis et non maiore censebitur auctor merito quam probator.
Incipiunt capitula libri
primi.
Omnia quaecunque a primaeva rerum natura constructa sunt, numerorum
videntur ratione formata. Hoc enim fuit principale in animo conditoris
exemplar. Hinc enim quattuor elementorum multitudo mutuata est, hinc temporum
vices, hinc motus astrorum caelique conversio. Quae cum ita sint, cumque
omnium status numerorum colligatione fungatur, eum quoque numerum necesse
est in propria semper sese habentem aequaliter substantia permanere, eumque
compositum non ex diversis -- quid enim numeri substantiam coniungeret,
cum ipsius exemplum cuncta iunxisset? -- sed ex se ipso videtur esse compositus.
Porro autem nihil ex similibus componi videtur, nec ex his, quae nulla
rationis proportione iunguntur et a se omni substantia naturaque discreta
sunt. Constat ergo, quoniam coniunctus est numerus, neque ex similibus
esse coniunctum neque ex his, quae ad se invicem nulla ratione proportionis
haerent. Erunt ergo, numeros prima quae iungant, ad substantiam quidem
quae constent semperque permaneant. Neque enim ex non subsistentibus effici
quicquam potest et sunt ipsa dissimilia et potentia conponendi. Haec autem
sunt, quibus numerus constat, par atque inpar quae divina quadam potentia,
cum disparia sint contrariaque, ex una tamen genitura profluunt, et in
unam compositionem modulationemque iunguntur.
III. Definitio et divisio numeri et definitio paris
et inparis.
Et primum quid sit numerus definiendum est. Numerus est unitatum collectio,
vel quantitatis acervus ex unitatibus profusus. Huius igitur prima divisio
est in inparem atque parem. Et par quidem est, qui potest in aequalia duo
dividi, uno medio non intercedente, inpar vero, quem nullus in aequalia
dividit eo, quod in medio praedictus unus intercedat. Et haec quidem huiusmodi
definitio vulgaris et nota est.
IIII. Definitio numeri paris et inparis secundum
Pythagoram.
Illa autem secundum pythagoricam disciplinam talis est: par numerus
est, qui sub eadem divisione potest in maxima parvissimaque dividi, maxima
spatio, parvissima quantitate secundum duorum istorum generum contrarias
passiones. Inpar vero numerus est, cui hoc quidem accidere non potest,
sed cuius in duas inaequales summas naturalis est sectio. Hoc est autem
exemplar: ut si quilibet datus par numerus dividatur, maior quidem quantum
ad divisionis spatia non invenietur, quam disgregata medietas, quantitate
vero nulla minor est, quam in gemina facta partitio; ut, si par numerus,
qui est .VIII., dividatur in .IIII. atque alios .IIII., nulla erit alia
divisio, quae maiores partes efficiat; porro autem nulla erit alia divisio,
quae totum numerum minore dividat quantitate. In duas enim partes divisione
nihil minus est. Cum enim totum quis fuerit trina divisione partitus, spatii
quidem summa minuitur, sed numerus divisionis augetur. Quod autem dictum
est: secundum duorum generum contrarias passiones, huiusmodi est: praedocuimus
enim quantitatem in infinitas pluralitates adcrescere, spatia vero, id
est magnitudines in infinitissimas minui parvitates atque ideo hic contra
evenit. Haec namque paris divisio spatio est maxima, parvissima quantitate.
V. Alia secundum antiquiorem modum divisio paris et
inparis.
Secundum antiquiorem vero modum alia est paris numeri definitio. Par
numerus est, qui in duo aequalia et in duo inaequalia partitionem recipit,
sed ut in neutra divisione vel inparitati paritas vel paritati inparitas
misceatur, praeter solum paritatis principem, binarium numerum, qui in
aequalem non recipit sectionem, propterea quod ex duabus unitatibus constat
et ex prima duorum quodammodo paritate. Quod autem dico, tale est: si enim
ponatur par numerus, potest in duo aequalia dividi, ut denarius dividitur
in quinos, porro autem et per inaequalia, ut idem denarius in .III. et
.VII., sed hoc modo, ut cum una pars fuerit divisionis par, alia quoque
par inveniatur, et si una inpar, reliqua ab eius inparitate non discrepet,
ut in eodem numero, qui est denarius. Cum enim divisus est in quinos, vel
cum in tres septem, utraeque in utraque portione partes inpares extiterunt.
Si autem ipse, vel alius numerus par, dividatur in aequales, ut octonarius
in .IIII. et .IIII., et item per inaequales, ut idem octonarius in .V.
et .III., in illa quidem divisione utraeque partes pares factae sunt, in
hac utraeque inpares extiterunt; neque unquam fieri potest, ut, cum una
pars divisionis par fuerit, alia inpar inveniri queat, aut, cum una inpar
sit, alia par possit intellegi. Inpar vero numerus est, qui ad quamlibet
illam divisionem per inaequalia semper dividitur, ut utrasque species numeri
semper ostendat, nec unquam altera sine altera sit, sed una pars paritati,
inparitati alia deputetur, ut, .VII. si dividas in .III. atque .IIII.,
altera portio par altera inpar est. Et hoc idem in cunctis inparibus numeris
invenitur, neque unquam in inparis divisione praeter se esse possunt. Hae
geminae species, quae naturaliter vim numeri substantiamque componunt.
VI. Definitio paris et inparis per alterutrum.
Quod si haec etiam per alterutras species definienda sunt, dicetur inparem
numerum esse, qui unitate differt a pari vel cremento vel deminutione.
Par item numerus est, qui unitate differt ab inpari vel cremento vel deminutione.
Si enim pari unum dempseris, vel unum adieceris, inpar efficitur, vel si
inpari idem feceris, par continuo procreatur.
VII. De principalitate unitatis.
Omnis quoque numerus circum se positorum et naturali sibimet dispositione
iunctorum medietas est; et qui super duos illos sunt, qui medio iunguntur,
si conponantur, etiam ipsorum supradictus numerus media portio est; et
rursus illorum, qui sunt super secundo loco iunctos, cum ipsi quoque sint
compositi, prior his numerus medietatis loco est, et hoc erit, usquedum
occurrens unitas terminum ponat, ut si ponat quis quinarium numerum, altrinsecus
circa ipsum sunt super .IIII. inferius .VI. Hi ergo si iuncti sint, faciunt
.X., quorum .V. numerus medietas est. Qui autem circa ipsos id est circa
.VI. et .IIII. sunt, .III. scilicet et .VII., idem si iuncti sint, eorum
quinarius numerus medietas est; rursus istorum, qui altrinsecus positi
sunt, si iungantur, etiam hi quinarii numeri dupli sunt; nam super .III.
sunt .II., super .VII. sunt .VIII.; hi ergo si iuncti sint, faciunt .X.,
quorum quinarius rursus medietas est. Hoc idem in omnibus numeris evenit,
usquedum ad unitatis terminum perveniri queat; sola enim unitas circum
se duos terminos non habet, atque ideo eius, qui est prope se, solius est
medietas. Nam iuxta .I. solus est binarius naturaliter constitutus, cuius
unitas media pars est. Quare constat primam esse unitatem cunctorum, qui
sunt in naturali dispositione, numerorum et eam rite totius quamvis prolixae
genitricem pluralitatis agnosci.
VIII. Divisio paris numeri.
Paris autem numeri species sunt tres. Est enim una, quae dicitur pariter
par, alia vero pariter inpar, tertia inpariter par. Et contraria quidem
locumque obtinentia summitatum videntur esse pariter par et pariter inpar.
Medietas autem quaedam, quae utrorumque participat, est numerus, qui vocatur
inpariter par.
VIIII. De numero pariter pari eiusque proprietatibus.
Pariter par numerus est, qui potest in duo paria dividi, eiusque pars in alia duo paria partisque pars in alia duo paria, ut hoc totiens fiat, usquedum divisio partium ad indivisibilem naturaliter perveniat unitatem. Ut .LXIIII. numerus habet medietatem .XXXII., hic autem medietatem .XVI., hic vero .VIII. Hunc quoque quaternarius in aequa partitur, qui binarii duplus est; sed binarius unitatis medietate dividitur, quae unitas naturaliter singularis non recipit sectionem. Huic numero videtur accidere, ut quaecunque eius fuerit pars, cum nomine ipso vocabuloque pariter par inveniatur; tum etiam quantitate. Sed ideo mihi videtur hic numerus pariter par vocatus, quod eius omnes partes et nomine et quantitate pares pariter inveniantur. Quomodo autem et nomine et quantitate pares habeat partes hic numerus, post dicemus. Horum autem generatio talis est: ab uno enim quoscunque in duplici proportione notaveris, semper pares pariter procreantur. Praeter hanc autem generationem ut nascantur aliter inpossibile est. Huius autem rei tale detur per ordinem descriptionis exemplum sintque cuncti duplices ab uno I. II. IIII. VIII. XVI. XXXII. LXIIII, CXXVIII. CCLVI. DXII. atque hinc si fiat infinita progressio, tales cunctos invenies, factique sunt ab uno in duplici proportione, et omnes sunt pariter pares. Illud autem non minima consideratione dignum est, quod eius omnis pars ab una parte quacunque, quae intra ipsum numerum est, denominatur tantamque summam quantitatis includit, quota pars est alter numerus pariter paris illius, qui eum continet, quantitatis. Itaque fit, ut sibi partes ipsae respondeant, ut quota pars una est, tantam habeat altera quantitatem, et quota pars ista est, tantum in priore summa necesse sit multitudinis inveniri. Et primum fit, si pares fuerint dispositiones, ut duae mediae partes sibi respondeant, post vero quae super ipsas sunt, sibi invicem convertantur, atque hoc idem fiat, donec uterque terminus extremitatis incurrat. Ponatur enim pariter paris ordo ab uno usque .CXXVIII. hoc modo: I. II. IIII. VIII. XVI. XXXII. LXIIII. CXXVIII. et ea sit summa maxima. In hoc igitur, quoniam pares dispositiones sunt, una medietas non potest inveniri. Sunt igitur duae, id est .VIII. et .XVI. quae considerandae sunt, quemadmodum ipsae sibi respondeant. Totius enim summae, id est .CXXVIII. octava pars est .XVI., sextadecima .VIII. Rursus super has partes quae sunt, ipsae sibi invicem respondebunt, id est .XXXII. et .IIII. Nam .XXXII. quarta pars est totius summae, .IIII. vero tricesima secunda. Rursus super has partes .LXIIII. secunda pars est, .II. vero sexagesima quarta; donec extremitates limitem faciant, quas dubium non est eadem responsione gaudere. Est enim omnis summa semel .CXXVIII., unus vero centesimus vicesimus octavus.
Si autem inpares terminos ponamus, id est summas -- idem enim terminos quod summas nomino -- secundum inparis naturam potest una medietas inveniri atque ipsa una sibi est responsura. Si enim ponatur hic ordo I. II. IIII. VIII. XVI. XXXII. LXIIII. una erit sola medietas, id est VIII., qui VIII. summae totius pars est octava, et sibi ipsi ad denominationem quantitatemque convertitur. Eodemque modo sicut superius circa ipsum qui sunt termini donant sibi mutua nomina secundum proprias quantitates vocabulumque permutant. Nam .IIII. sextadecima pars est totius summae, .XVI. vero quarta. Et rursus super terminos hos .XXXII. secunda pars est totius summae, .II. vero tricesima secunda; et semel tota summa .LXIIII. sunt, sexagesima quarta vero unitas invenitur. Hoc igitur est, quod dictum est, omnes eius partes et nomine et quantitate pariter pares inveniri.
Hoc quoque multa consideratione multaque constantia divinitatis perfectum est, ut ordinatim dispositae minores summae in hoc numero et super se ipsas coacervatae sequenti minus uno semper aequentur. Si enim unum iungas his, qui sequuntur, duobus, fiunt .III., id est, qui uno minus quaternario cadant, et si superioribus addas .IIII., sunt .VII., qui ab octonario sequente sola unitate vincuntur. Sed si eosdem .VIII. supradictis adiunxeris, .XV. fient, qui par .XVI. numeri existeret quantitati, nisi minor unitas inpediret. Hoc autem prima etiam numeri progenies servat atque custodit. Namque unitas, quae prima est, duobus subsequentibus sola est unitate contractior; unde nihil mirum est, totum summae crementum proprio consentire principio. Haec autem nobis consideratio maxime proderit in his numeris cognoscendis, quos superfluos vel inminutos perfectosque monstrabimus. Illic enim coacervata quantitas partium numeri totius termino comparatur.
Illud quoque nulla possumus oblivione transmittere, quod in hoc numero respondentibus sibi invicem partibus multiplicatis maior extremitas eiusdem numeri summaque conficitur. Et primum si pares fuerint dispositiones medii multiplicantur atque deinde qui super ipsos sunt et usque ad supradictas extremitates. Si enim fuerint pares dispositiones secundum naturam paris duos in medio terminos continebunt, ut in ea dispositione numerorum, in qua extremus terminus .CXXVIII. finitur. In hoc enim numero medietates sunt .VIII. scilicet et .XVI., quae in se multiplicatae maioris summam crescente pluralitate conficient. Octies enim .XVI. vel sedecies .VIII., si multiplices, .CXXVIII. summa concrescet, atque hi numeri, qui super eosdem sunt, si multiplicentur, idem faciunt. Nam .IIII. et .XXXII., in se si multiplices supra dictam facient extremitatem. .IIII. enim tricies et bis, vel quater .XXXII. ducti .CXXVIII. inmutabili necessitate conplebunt, atque hoc usque ad extremos terminos cadit, id est .I. et .CXXVIII. Semel enim extremus terminus .CXXVIII. est; centies vicies atque octies unitate multiplicata nihil de priore quantitate mutabitur.
Si autem inpares fuerint dispositiones, unus medius terminus invenitur,
atque ipse sibi propria multiplicatione respondet. In eo namque ordine
numerorum, ubi extremus terminus .LXIIII. pluralitate concluditur, sola
invenitur una medietas, id est .VIII., quam si octies id est in semet ipsum
multiplices .LXIIII. explicabit, atque idem reddent illi, qui super hanc
medietatem sunt, ut dudum hi, qui super duas positi, faciebant. Nam quater
.XVI. .LXIIII. sunt et sedecies .IIII. idem conplent. Rursus bis .XXXII.
facti a .LXIIII. non discedunt, et tricies bis .II. eosdem cumulant, et
semel .LXIIII. vel unitas sexagies quater multiplicata eundem numerum sine
ulla varietate restituent.
X. De numero pariter inpari eiusque proprietatibus.
Pariter autem inpar numerus est, qui et ipse quidem paritatis naturam substantiamque sortitus est, sed in contraria divisione naturae numeri pariter paris obponitur. Docebitur namque, quam longe hic dissimili ratione dividatur. Nam quoniam par est, in partes aequales recipit sectionem, partes vero eius mox indivisibiles atque insecabiles permanebunt, ut sunt .VI. X. XIIII. XVIII. XXII. et his similes. Mox enim hos numeros si in gemina fueris divisione partitus, incurris in inparem, quem secare non possis. Accidit autem his quod omnes partes contrarie denominatas habent, quam sunt quantitates ipsarum partium, quae denominantur. Neque unquam fieri potest, ut quaelibet pars huius numeri eiusdem generis denominationem quantitatemque suscipiat. Semper enim si denominatio fuerit par, quantitas partis erit inpar, si denominatio inpar, quantitas par: ut in .XVIII. secunda eius pars, id est media, quod paritatis nomen est, .VIIII., quae inpar est quantitas; tertia vero, quae inpar est denominatio, .VI., cui par pluralitas est. Rursus si convertas, sexta pars, quae par est denominatio, .III. sunt, sed ternarius inpar est; et nona pars, quod inpar est vocabulum, .II., qui par numerus est; atque idem in aliis cunctis, qui sunt pariter inpares, invenitur. Neque unquam fieri potest, ut, cuiuslibet partis eiusdem sit generis nomen et numerus.
Fit autem horum procreatio numerorum, si ab uno disponantur, quicunque duobus differunt, id est omnibus inparibus naturali sequentia atque ordine constitutis. Namque hi si per binarium numerum multiplicentur, omnes pariter inpares rite pluralitas demensa sufficiet. Ponatur enim prima unitas .I. et post hunc, qui ab hoc duobus differt, id est .III. et post hunc, qui rursus a superiore duobus, id est .V., et hoc in infinitum et sit huius modi dispositio
I. III. V. VII. VIIII. XI. XIII. XV. XVII. XVIIII.Hi ergo naturaliter se sequentes inpares sunt, quos nullus in medio par numerus distinguit. Hos si per binarium numerum multiplices, efficies hoc modo: bis .I. id est .II., qui dividitur quidem, sed eius partes indivisibiles repperiuntur propter insecabilis unitatis naturam; bis .III., bis .V., bis .VII., bis .VIIII., bis .XI. et deinceps, ex quibus nascuntur hi: II. VI. X. XIIII. XVIII. XXII., quos si dividas, unam recipient sectionem ceteram repudiantes, quod secunda divisio ab inparis medietate partis excluditur.
His autem numeris a se invicem quaternarii sola distantia est; namque inter .II. et .VI. numeros .IIII. sunt, rursus inter .VI. et .X. et inter .X. et .XIIII., inter .XIIII. et .XVIII. idem quaternarius differentiam facit. Hi namque omnes quaternaria sese numerositate transcendunt, quod idcirco contingit, quoniam primi qui positi sunt, id est eorum fundamenta, binario se numero praecedebant, quos quoniam per binarium multiplicavimus, in quaternarium numerum crevit illa progressio; .II. enim per .II. multiplicati quaternariam faciunt summam. Igitur in naturalis numeri dispositione pariter inpares numeri quinto loco a se distant, solis .IIII. se praecedunt, .III. in medio transeuntes, per binarium numerum multiplicatis inparibus procreati. Contrariae vero esse dicuntur hae species numerorum, id est pariter par et pariter inpar, quod in numero pariter inpari sola divisionem recipit maior extremitas, in illo vero solus minor terminus sectione solutus est, et quod in forma pariter paris numeri ab extremitatibus incipienti et usque ad media progredienti, quod continetur sub extremis terminis, idem est illi, quod continetur sub intra se positis summulis atque hoc idem usquedum ad duas medietates fuerit ventum in dispositionibus scilicet paribus; si autem fuerint inpares dispositiones, quod ab una medietate conficitur, hoc idem sub altrinsecus positis partibus procreatur, atque hoc usquedum ad extremitates progressio fiat. In ea enim dispositione, quae est par ut II. IIII. VIII. XVI,, idem reddunt .II. per .XVI. multiplicati, quod .IIII. per octonarium ducti, utroque enim modo .XXXII. fient. Quod si inpar sit ordo, ut est II. IIII. VIII., idem facient extremi, quod medietas; bis enim .VIII. sunt .XVI., qui numerus a quaternario in se ducto perficitur. In numero vero pariter inpari, si fuerit unus in medio terminus, circum se positorum terminorum, si in unum redigantur, medietas est, et idem eorum quoque, qui super hos sunt terminos, medietas est, atque hoc usque ad extremos omnium terminorum, ut in eo ordine, qui est pariter inparium numerorum, II. VI. X., iunctus binarius cum denario .XII. explet, cuius senarius medietas invenitur. Si vero fuerint duae medietates iunctae, ipsae utraeque aequales erunt super se terminis constitutis, ut est in hoc ordine II. VI. X. XIIII. Iuncti enim .II. et .XIIII. in .XVI. crescunt, quos senarius cum denario copulatus efficiet. Atque hoc in numerosioribus terminis initio sumpto a mediis evenit usquedum ad extrema veniatur.
XI. De numero inpariter pari eiusque proprietatibus deque eius ad pariter parem et pariter inparem cognatione.
Inpariter par numerus est ex utrisque confectus et medietatis loco gemina extremitate concluditur, ut, quo ab utroque discrepet, eadem ad alterutrum cognatione iungatur. Hic autem talis est, qui dividitur in aequas partes, cuiusque pars in alias aequas dividi potest, etiam aliquando partes partium dividuntur, sed non usque ad unitatem progreditur aequalis illa disiunctio, ut sunt .XXIIII. et .XXVIII. Hi enim possunt in medietates dividi et eorum rursus partes in alias medietates sine aliqua dubitatione solvuntur. Sunt etiam quidam alii numeri, quorum partes alias recipiunt divisiones, sed ipsa divisio ad unitatem usque non pervenit. Igitur in eo, quod plus quam unam suscipit sectionem, habet similitudinem pariter paris, sed a pariter inpari segregatur; in eo vero, quod usque ad unum sectio illa non ducitur, pariter inparem non refutat, sed a pariter pari disiungitur. Contingit autem huic numero et utraque habere, quae superiores non habent, et utraque, quae illi recipiunt, obtinere. Et habet quidem, quod utrique non habent, quod, cum in uno solus maior terminus divideretur, in alio vero solus minor terminus non divideretur, in hoc neque solus maior terminus divisionem recipit, neque minor solus terminus a divisione seiungitur. Nam et partes solvuntur et usque ad unitatem sectio illa non pervenit, sed ante unitatem invenitur terminus, quem secare non possis. Obtinet autem, quae illi quoque recipiunt, quod quaedam partes eius respondent denominanturque secundum genus suum ad propriam quantitatem, ad similitudinem scilicet pariter paris numeri, aliae vero partes contrariam denominationem sumunt propriae quantitatis, ad pariter inparis scilicet formam. In .XXIIII. enim numero par est quantitas partis a pari numero denominata. Nam quarta .VI. secunda .XII. sexta vero .IIII. duodecima .II., quae vocabula partium a quantitatis paritate non discrepant. Contrarie vero denominantur, ut tertia pars .VIII., octava vero .III. Vicesima autem quarta .I. quae denominationes cum pares sint, inveniuntur inpares quantitates, et cum sint pares summae, sunt inpares denominationes.
Nascuntur autem tales numeri ita, ut substantiam naturamque suam in ipsa etiam propria generatione designent ex pariter paribus et pariter inparibus procreari. Pariter enim inpares cuncti dudum ordinatim positis inparibus nascebantur, pariter vero pares ex duplici progressione. Disponantur igitur omnes in ordinem naturaliter inpares a tribus et sub his a quattuor inchoantes omnes duplices et sint hoc modo:
III. V. VII. VIIII. XI. XIII. IIII. VIII. XVI. XXXII. LXIIII. CXXVIII.His igitur ita positis si primus primi multiplicatione concrescat, id est si quaternarii ternarius, vel si idem primus secundi, id est octonarii ternarius, vel si idem primus tertii, id est ternarius sedecimi, et idem usque ad ultimum, vel si secundus primi, vel si secundus secundi, vel si secundus tertii et eadem usque ad extremum multiplicatio proferatur, vel si tertius a primo inchoans usque in extremum transeat atque ita quartus et omnes in ordinem superiores multiplicent eos, qui sub ipsis in dispositione sunt, omnes inpariter pares procreabuntur. Huius autem rei tale sumamus exemplum. Si .III. quater multiplices .XII. fient, vel si .V. quattuor multiplicent .XX. numerus excrescet, vel si item .VII. multiplicent .IIII. .XXVIII. succrescet, atque hoc usque in finem. Rursus si .VIII. multiplicent .III. nascentur .XXIIII.; si .VIII. in .V. fiunt .XL., si .VIII. in .VII. colligentur .LVI. atque ad hunc modum si omnes inferiores duplices a superioribus multiplicentur, vel si superiores eosdem inferiores multiplicent, cunctos, qui nati fuerint, inpariter pares invenies.
Atque haec est admirabilis huius numeri forma, quod cum fuerit ipsa dispositio descriptioque perspecta numerorum, ad latitudinem pariter inparium, ad longitudinem pariter parium numerorum proprietas invenitur. Sunt enim duabus in latitudine medietatibus aequales duae extremitates vel una medietate duae duplices extremitates. In longitudine vero pariter paris numeri rem proprietatemque designat. Quod enim sub duabus medietatibus continetur, aequale est ei, quod sub extremis conficitur, vel quod ab una medietate nascitur, aequale est illi, quod sub utrisque extremitatibus continetur. Descriptio autem, quae subposita est, hoc modo facta est: quantoscunque in ordine pariter parium numerorum ternarius numerus multiplicavit, quicunque ex eo procreati sunt, primo sunt versu dispositi; rursus qui eosdem multiplicante quinario nati sunt, secundo loco sunt constituti, post vero, quos septenarius ceteros multiplicando procreavit, eosdem tertio conscripsimus loco, atque idem in reliqua descriptionis parte perfecimus.
III. V. VII. VIIII. IIII. VIII. XVI. XXXII.(Vide descriptionem in tabula seorsum addita.)
Longitudo. Latitudo. medius. I.CLII. DLXXVI.
II.CCCIIII. III.CC. I.DC. VI.CCCC. LXXX. XII. XXIIII. XLVIII. XCVI. CLX.
XL. XX. CXCII. CCCXX. CCCLXXXIIII. LVI. XXVIII. CXII. CCXXIIII. CCCCXLVIII.
XXXVI. LXXII. CXLIIII. CCLXXXVIII. III.CXXXVI. XII.DXLIIII, VI.CCLXXII.
V.CLXXXIIII. XX.DCCXXXVI, X.CCCLXVII.
XII. Descriptionis ad inpariter paris naturam pertinentis
expositio.
Superius igitur digestae descriptionis haec ratio est: Si ad latitudinem respicias, ubi est duorum terminorum una medietas, ipsosque terminos iungas, duplos eos medietate propria repperies, ut .XXXVI. et .XX. faciunt .LVI., quorum medietas est .XXVIII., qui medius est inter eos terminus constitutus. Et rursus .XXVIII. et .XII. si iungas, faciunt .XL., quorum .XX. medietas medius eorum terminus invenitur. At vero ubi duas medietates habent, utraeque extremitates iunctae utrisque medietatibus aequales fiunt, ut .XII. et .XXXVI., cum iunxeris, fiunt .XLVIII. Horum si medietates sibimet applicaveris, id est .XX. et .XXVIII., idem erit. Atque in alia parte latitudinis eodem ordine qui fiunt numeri notati sunt, neque ulla in re ratio utriusque latitudinis discrepabit; idemque in eodem ordine in ceteris numeris pernotabis; et hoc secundum formam pariter inparis numeri fit, in quo hanc proprietatem esse supra iam dictum est.
Rursus si ad longitudinem respicias, ubi duo termini unam medietatem
habent, quod fit ex multiplicatis extremitatibus, hoc fit, si medius terminus
suae capiat pluralitatis augmenta. Nam duodecies .XLVIII. faciunt .DLXXVI.;
medius vero eorum terminus, id est .XXIIII. si multiplicetur, eosdem rursus
.DLXXVI. procreabit. Et rursus si .XXIIII. in .XCVI. multiplicentur, faciunt
II. CCC. IIII., quorum medius terminus, id est .XLVIII. si in semet ipsum
ducatur, idem. II. CCC. IIII. procreantur. Ubi autem termini duo duas medietates
includunt, quod fit multiplicatis extremitatibus, hoc idem redditur in
alterutram summam medietatibus ductis. Duodecies enim .XCVI. multiplicatis
I. CLII. procreantur. Duae vero eorum medietates, id est .XXIIII. et .XLVIII.
si in semet ipsas multiplicentur, eosdem I. CLII. restituent. Atque hoc
est ad imitationem cognationemque numeri pariter paris, a quo participatione
tracta haec ei recognoscitur ingenerata proprietas. Et in alio vero latere
longitudinis eadem ratio descriptioque notata est. Quare manifestum est,
hunc numerum ex prioribus duobus esse procreatum, quoniam eorum retinet
proprietates.
XIII. De numero inpari eiusque divisione.
Inpar quoque numerus, qui a paris numeri natura substantiaque disiunctus
est, -- si quidem ille in gemina aequa dividi potest, hic ne secari queat,
unitatis inpedit interventus, -- tres habet similiter subdivisiones, quarum
una eius pars est is numerus, qui vocatur primus et incompositus, secunda
vero, qui est secundus et compositus, et tertia is, qui quadam horum medietate
coniunctus est et ab utriusque cognatione aliquid naturaliter trahit, qui
est per se quidem secundus et compositus, sed ad alios comparatus primus
et incompositus invenitur.
XIIII. De primo et incomposito.
Et primus quidem et incompositus est, qui nullam aliam partem habet
nisi eam, quae a tota numeri quantitate denominata sit, ut ipsa pars non
sit nisi unitas, ut sunt III. V. VII. XI. XIII. XVII. XVIIII. XXIII. XXVIIII.
XXXI. In his ergo singulis nulla unquam alia pars invenietur, nisi quae
ab ipsis denominata est, et ipsa tantum unitas, ut supra iam dictum est.
In tribus enim una pars sola est, id est tertia, quae a tribus scilicet
denominata est, et ipsa tertia pars unitas; eodemque modo quinarii sola
quinta pars est et haec unitas, atque idem in singulis consequens repperietur.
Dicitur autem primus et incompositus, quod nullus eum alter numerus metiatur
praeter solam, quae cunctis mater est, unitatem. Namque ternarium .II.
non numerant, idcirco, quoniam si solos duos contra .III. compares, pauciores
sunt, sin vero binarium bis facias, amplior est tribus, cum crescit in
.IIII. Metitur autem numerus numerum, quotiens vel semel vel bis vel tertio
vel quotienslibet numerus ad numerum comparatus neque deminuta summa neque
aucta ad comparati numeri terminum usque pervenerit, ut .II. si ad .VI.
compares, binarius numerus senarium tertio metietur. Primos ergo et incompositos
nullus numerus metietur praeter unitatem solam, quoniam ex nullis aliis
numeris compositi sunt, sed tantum ex unitatibus in semet ipsis auctis
multiplicatisque procreantur. Ter enim unus .III. et quinquies unus .V.
et septies unus .VII. fecerunt, et alii quidem, quos supra descripsimus,
eodem modo nascuntur. Hi autem in semet ipsos multiplicati faciunt alios
numeros velut primi, eosque primam rerum substantiam vimque sortitos cunctorum
a se procreatorum velut quaedam elementa repperies, quia scilicet incompositi
sunt et simplici generatione formati atque in eos omnes, quicunque ex his
prolati sunt numeri, resolvuntur, ipsi vero neque ex aliis producuntur
neque in alios reducuntur.
XV. De secundo et composito.
Secundus vero et compositus et ipse quidem inpar est, propterea quod eadem inparis proprietate formatus est, sed nullam in se retinet substantiam principalem compositusque est ex aliis numeris habetque partes et a se ipso et ab alieno vocabulo denominatas; sed a se ipso denominatam partem solam semper in his repperies unitatem, ab alieno vero vocabulo vel unam vel quotlibet alias, quanti fuerint scilicet numeri quibus ille compositis procreatur, ut sunt hi: VIIII. XV. XXI. XXV. XXVII. XXXIII. XXXVIIII. Horum ergo singuli habent quidem a se denominatas partes proprias, scilicet unitates, ut .VIIII. nonam, id est unum, .XV. quintam decimam eandem rursus unitatem et in ceteris, quos supra descripsimus, idem convenit.
Habent etiam ab alieno vocabulo partem, ut .VIIII. tertiam, id est ternarium, et .XV. tertiam, id est quinque, et quintam, id est tres; .XXI. vero tertiam .VII., septimam .III.; et in omnibus aliis eadem consequentia est.
Secundus autem vocatur hic numerus, quoniam non sola unitate metitur
sed etiam alio numero, a quo scilicet coniunctus est, neque habet quicquam
in se principalis intellegentiae. Nam ex aliis numeris procreatur. .VIIII.
quidem ex tribus, .XV. vero ex tribus et .V., at .XXI. ex tribus et .VII.
et ceteri eodem modo. Compositus autem dicitur eo, quod resolvi potest
in eosdem ipsos, a quibus dicitur esse compositus, in eos scilicet, qui
compositum numerum metiuntur. Nihil autem, quod dissolvi potest, incompositum
est, sed omni rerum necessitate compositum.
XVI. De eo, qui per se secundus et compositus est,
ad alium primus et incompositus.
His vero contra se positis, id est primo et incomposito et secundo et
composito, et naturali diversitate disiunctis alius in medio consideratur,
qui ipse quidem compositus sit et secundus et alterius recipiens mensionem
atque ideo et partis alieni vocabuli capax, sed cum fuerit ad alium eiusdem
generis numerum comparatus, nulla cum eo communi mensura coniungitur; nec
habebunt partes aequivocas; ut sunt .VIIII. ad .XXV. Nulla hos communis
numerorum mensura metitur, nisi forte unitas, quae omnium numerorum mensura
communis est. Et hi quidem non habent aequivocas partes. Nam quae in .VIIII.
tertia est, in .XXV. non est, et quae in .XXV. quinta est, in novenario
non est. Ergo hi per naturam utrique secundi et compositi sunt, comparati
vero ad se invicem primi incompositique redduntur, quod utrosque nulla
alia mensura metitur, nisi unitas, quae ab utrisque denominata est; nam
in novenario nona est, in .XXV. vicesima quinta.
XVII. De primi et incompositi et secundi et compositi
et ad se quidem secundi et compositi, ad alterum vero primi et incompositi
procreatione.
Generatio autem ipsorum atque ortus huiusmodi investigatione colligitur, quam scilicet Eratosthenes cribrum nominabat, quod cunctis inparibus in medio conlocatis per eam quam tradituri sumus artem, qui primi quive secundi quique tertii generis videantur esse distinguitur. Disponantur enim a ternario numero cuncti in ordinem inpares in quamlibet longissimam porrectionem. III. V. VII. VIIII. XI. XIII. XV. XVII. XVIIII. XXI. XXIII. XXV. XXVII. XXVIIII. XXXI. XXXIII. XXXV. XXXVII. XXXVIIII. XLI. XLIII. XLV. XLVII. His igitur ita dispositis considerandum, primus numerus quem eorum, qui sunt in ordine positi, primum metiri possit. Sed duobus praeteritis illum, qui post eos est positus, mox metitur, et, si post eundem ipsum, quem mensus est, alii duo transmissi sint, illum qui post duos est, rursus metitur, et eodem modo, si duos quis reliquerit, post eos qui est, a primo numero metiendus est; eodemque modo relictis semper duobus omnes a primo in infinitum pergentes metientur.
Sed id non vulgo neque confuse. Nam primus numerus illum, qui est post duos secundum se locatos, per suam quantitatem metitur. Ternarius enim intermissis duobus id est .V. et .VII. novenarium metitur, et hoc per suam quantitatem id est per ternarium. Ternarius enim numerus tertio .VIIII. metitur. Si autem post novenarium duos reliquero, qui mihi post illos incurrerit, a primo metiendus est per secundi inparis quantitatem, id est per quinarium. Nam si post .VIIII. duos relinquam, id est .XI. et .XIII. ternarius numerus .XV. metietur per secundi numeri quantitatem, id est per quinarii, quoniam ternarius .XV. quinquies metitur. Rursus si a quindenario inchoans duos intermisero, qui posterior positus est, eius primus numerus mensura est per tertii inparis pluralitatem. Nam si post .XV. intermisero .XVII. et .XVIIII., incurrit .XXI., quem ternarius numerus secundum septenarium metitur .XXI. enim numeri ternarius septima pars est, atque ideo hoc in infinitum faciens repperio primum numerum, si binos intermiserit, omnes sequentes posse metiri secundum quantitatem positorum ordine inparium numerorum.
Sin vero quinarius numerus, qui in secundo loco est constitutus, velit quis, cuius prima ac deinceps mensura sit, invenire, transmissis .IIII. inparibus quintus ei, quem metiri possit, occurrit. Intermittantur enim .IIII. inpares, id est .VII. et .VIIII. et .XI. et .XIII. Post hos est .XV., quem quinarius metitur secundum primi scilicet quantitatem id est ternarii. .V. enim .XV. tertio metitur. Ac deinceps si quattuor intermittat, eum, qui post illos locatus est secundus, id est quinarius, sui quantitate metitur. Nam post .XV. intermissis .XVII. et .XVIIII. et .XXI. et .XXIII. post eos .XXV. repperio, quos quinarius scilicet numerus sua pluralitate metitur. Quinquies enim quinario multiplicato .XXV. succrescunt. Si vero post hunc quilibet .IIII. intermittat, eadem ordinis servata constantia, qui eos sequitur, secundum tertii, id est septenarii numeri, summam a quinario metietur; atque haec est infinita progressio.
Si vero tertius numerus quem metiri possit, exquiritur, sex in medio relinquentur, et quem septimum ordo monstraverit, hic per primi numeri, id est ternarii, quantitatem metiendus est; et post illum sex aliis interpositis, quem post eos numerum series dabit, per quinarium, id est per secundum, tertii eum mensura percurret. Sin vero alios rursus sex in medio quis relinquat, ille, qui sequitur, per septenarium numerum ab eodem septenario metiendus est id est per tertii quantitatem; atque hic usque in extremum ratus ordo progreditur.
Suscipiant ergo metiendi vicissitudinem quemadmodum sunt in ordinem naturaliter inpares constituti. Metientur autem, si per pares numeros a binario inchoantes positos inter se inpares rata intermissione transsiliant, ut primus duo, secundus .IIII., tertius .VI. quartus .VIII. quintus .X., vel si locos suos conduplicent et secundum duplicationem terminos intermittant, ut ternarius qui primus est numerus et unus -- omnis enim primus unus est -- bis locum suum multiplicet faciatque bis unum; qui cum .II. sint, primus .II. medios transeat. Rursus secundus, id est quinarius, si locum suum duplicet, .IIII. explicabit, hic quoque uti .IIII. intermittat. Item si septenarius, qui tertius est, locum suum duplicet, sex creabit. Bis enim .III. senarium iungunt. Hic ergo in ordinem .VI. relinquat. Quartus quoque si locum suum duplicet, .VIII. succrescent. Ille quoque octo transsiliat. Atque hoc quidem in ceteris perspiciendum.
Modum autem mensionis secundum ordinem conlocatorum ipsa series dabit.
Nam primus primum quem numerat, secundum primum numerat, id est secundum
se; et secundum primus quem numerat, per secundum numerat, et tertium per
tertium et quartum item per quartum. Cum autem secundus mensionem susceperit,
primum quem numerat, secundum primum metitur, secundum vero quem numerat,
per se, id est per secundum, et tertium per tertium, et in ceteris eadem
similitudine mensura constabit. Alios ergo si respicias vel qui alios mensi
sunt, vel qui ipsi ab aliis metiuntur, invenies omnium simul communem mensuram
esse non posse, neque ut omnes quemquam alium simul numerent; quosdam autem
ex his ab alio posse metiri, ita ut ab uno tantum numerentur; alios vero,
ut etiam a pluribus; quosdam autem, ut praeter unitatem eorum nulla mensura
sit. Qui ergo nullam mensuram praeter unitatem recipiunt, hos primos et
incompositos iudicamus, qui vero aliquam mensuram praeter unitatem vel
alienigenae partis vocabulum sortiuntur, eos pronuntiemus secundos atque
compositos. Tertium vero illud genus per se secundi et compositi, primi
vero et incompositi ad alterutrum comparati, hac inquisitor ratione, repperiet.
Si enim quoslibet illos numeros secundum suam in semet ipsos multiplices
quantitatem, qui procreantur, ad alterutrum comparati nulla mensurae communione
iunguntur. .III. enim et .V. si multiplices, .III. tertio .VIIII. facient,
et quinquies .V. reddent .XXV. His igitur nulla est communis mensurae cognatio.
Rursus .V. et .VII. quos procreant, si compares, hi quoque incommensurabiles
erunt. Quinquies enim .V., ut dictum est, .XXV., septies .VII. faciunt
.XLVIIII., quorum mensura nulla communis est; nisi forte omnium horum procreatrix
et mater unitas.
XVIII. De inventione eorum numerorum, qui ad se
secundi et compositi sunt, ad alios vero relati primi et incompositi.
Qua vero ratione tales numeros invenire possimus, si quis nobis eosdem proponat et imperet agnoscere, utrum aliqua mensura commensurabiles sint, an certe sola unitas utrosque metiatur, repperiendi ars talis est. Datis enim duobus numeris inaequalibus, auferre de maiore minorem oportebit, et qui relictus fuerit, si maior est, auferre ex eo rursus minorem, si vero minor fuerit, eum ex reliquo maiore detrahere atque hoc eo usque faciendum, quoad unitas ultima vicem retractionis inpediat, aut aliquis numerus, inpar necessario, si utrique numeri inpares proponantur; sed eum, qui relinquitur, numerum sibi ipsi videbis aequalem. Ergo si in unum incurrat vicissim ista subtractio, primi contra se necessario numeri dicentur et nulla alia mensura nisi sola unitate coniuncti. Si vero ad aliquem numerum, ut superius dictum est, finis deminutionis incurrerit, erit numerus, qui metiatur utrasque summas, atque eundem ipsum, qui remanserit, dicemus utrorumque communem esse mensuram.
Age enim duos numeros propositos habeamus, quos iubeamur agnoscere, an eos aliqua communis mensura metiatur; atque hi sint .VIIII. scilicet et .XXVIIII. Hoc igitur modo faciemus reciprocam deminutionem. Auferamus de maiore minorem, hoc est de .XXVIIII. novenarium, relinquentur .XX. Ex his ergo .XX. rursus minorem detrahamus, id est .VIIII. et relinquentur .XI. Ex his rursus detraho .VIIII., relicti sunt .II. Quos si detraho novenario, reliqui sunt .VII.; quos si duo rursus septenario dempserim, supersunt .V., atque ex his alios duos, .III. rursus exuberant, quos alio binario deminutos sola unitas superstes egreditur. Rursus si ex duobus unum auferam in uno terminus detractionis haerebit, quem duorum illorum numerorum, id est .VIIII. et .XXVIIII. solam neque aliam constat esse mensuram. Hos ergo contra se primos vocabimus.
Sed sint alii numeri nobis eadem condicione propositi, id est .XXI.
et .VIIII., ut quales hi sint investigentur, cum sibimet fuerint invicem
comparati. Rursus aufero de maiore minoris numeri quantitatem, id est .VIIII.
de .XXI., relinquuntur .XII. Ex his rursus demo .VIIII., supersunt .III.
Qui si ex novenario detrahantur, senarius relinquetur. Quibus item si quis
ternarium demat, .III. relinquentur, de quibus .III. detrahi nequeunt,
atque hic est sibi ipsi aequalis. Nam .III., qui detrahebantur, usque ad
ternarium numerum pervenerunt, a quo quoniam aequales sunt, detrahi minuique
non poterunt. Hos igitur commensurabiles pronuntiabimus et est eorum, qui
est reliquus, ternarius mensura communis.
XVIIII. Alia partitio paris secundum perfectos,
inperfectos et ultra quam perfectos.
Ac de inparibus numeris quantum introductionis permittebat brevitas expeditum est. Rursus numerorum parium sic fit secunda divisio. Alii enim eorum sunt superflui, alii deminuti secundum utrasque habitudines inaequalitatis. Omnis quippe inaequalitas aut in maioribus aut in minoribus consideratur. Illi enim inmoderata quodammodo plenitudine proprii corporis modum partium suarum numerositate praecedunt; illos autem velut paupertate inopes oppressosque quadam naturae suae inopia minor, quam ipsi sunt, partium summa componit. Atque illi quidem, quorum partes ultra quam satis est sese porrexerint, superflui nominantur, ut sunt .XII. vel .XXIIII. Hi enim suis partibus comparati maiorem partium summam toto corpore sortiuntur. Est enim duodenarii medietas .VI. pars tertia .IIII. pars quarta .III. pars sexta .II. pars duodecima .I. omnisque hic cumulus redundat in .XVI. et totius corporis sui multitudinem vincunt. Rursus .XXIIII. numeri medietas est .XII., tertia .VIII., quarta .VI., sexta .IIII., octava .III.. duodecima .II., vicesima quarta .I., qui omnes .XXX. et .VI. rependunt. In qua re manifestum est, quod summa partium maior est et supra proprium corpus exundat. Atque hic quidem, cuius compositae partes totius summam numeri vincunt, superfluus appellatur, deminutus vero ille, cuius eodem modo compositae partes totius termini multitudine superantur, ut .VIII. vel .XIIII. Habet enim octonarius partem mediam, id est .IIII., habet et quartam, id est .II., et octavam, id est .I. quae cunctae in unum redactae .VII. colligunt, minorem scilicet summam toto corpore concludentes. Rursus .XIIII. habent medietatem, id est septenarium, habent septimam, id est .II., habent quartam decimam, id est .I. quae in unum si collectae sint, denarii numeri summa succrescit, toto scilicet termino minor.
Atque hi quidem hoc modo sunt, ut prior ille, quem suae partes superant, talis videatur, tamquam si quis multis super naturam manibus natus, ut centimanus gigas vel triplici coniunctus corpore, ut Geryo tergeminus, vel quicquid unquam monstruosum naturae in partium multiplicatione subripuit; ille vero, ut si naturaliter quadam necessaria parte detracta aut minus oculo nasceretur, ut Cyclopeae frontis dedecus fuit, vel quo alio curtatus membro naturale totius suae plenitudinis dispendium sortiretur.
Inter hos autem velut inter inaequales intemperantias medii temperamentum
limitis sortitus est ille numerus, qui perfectus dicitur, virtutis scilicet
aemulator, qui nec supervacua progressione porrigitur, nec contracta rursus
deminutione remittitur, sed medietatis obtinens terminum suis aequus partibus
nec crassatur abundantia, nec eget inopia, ut .VI. vel .XXVIII. Namque
senarius habet partem mediam, id est .III., et tertiam, id est .II. et
sextam, id est .I. quae in unam summam si redactae sint par totum numeri
corpus suis partibus invenitur .XXVIII. vero habet medietatem .XIIII. et
septimam .IIII. nec caret quarta, id est .VII., possidet quartam decimam
.II. et repperies in eo vicesimam octavam .I., quae in unum redactae totum
partibus corpus aequabunt. .XXVIII. enim iunctae partes efficient.
XX. De generatione numeri perfecti.
Est autem in his quoque magna similitudo virtutis et vitii. Perfectos enim numeros rarenter invenies, eosque facile numerabiles, quippe qui pauci sint et nimis constanti ordine procreati. At vero superfluos ac deminutos longe multos infinitosque repperies, nec ullis ordinibus passim inordinateque dispositos et a nullo certo fine generatos. Sunt autem perfecti numeri intra denarium numerum .VI. intra centenarium .XXVIII. intra millenarium .CCCCXCVI. intra decem milia .VIII. CXXVIII. Et semper hi numeri duobus paribus terminantur, .VI. et .VIII., et semper alternatim in hos numeros summarum fine provenient. Nam et primum .Vl., inde .XXVIII. post hos .CCCC. XCVI. idem senarius, qui primus, post quem .VIII. CXXVIII. idem octonarius, qui secundus.
Generatio autem procreatioque eorum est fixa firmaque, ne quo alio modo fieri possint, nec ut si hoc modo fiant, aliud quiddam ullo modo valeat procreari. Dispositos enim ab uno omnes pariter pares numeros in ordinem quousque volueris, primo secundum adgregabis, et si primus numerus et incompositus ex illa coacervatione factus sit, totam summam in illum multiplicabis, quem posterius adgregaveras. Si vero coacervatione facta primus inventus non fuerit, sed compositus et secundus, hunc transgredere, atque alium, qui sequitur, adgregabis. Si vero nec dum fuerit primus et incompositus, alium rursus adiunge et vide, quid fiat. Quod si primum incompositumque repperies, tunc in ultimae multitudinem summae coacervationem multiplicabis. Disponantur enim omnes pariter pares numeri hoc modo:
I. II. IIII. VIII. XVI. XXXII. LXIIII. CXXVIII.Facies ergo ita. Pones .I. eique adgregabis .II. Tunc respicias ex hac adgregatione qui numerus factus sit. Inde .III. qui scilicet primus et incompositus est; et post unitatem ultimum binarium numerum adgregaveras. Si igitur ternarium, id est qui ex coacervatione collectus est, per binarium multiplices, qui est ultimus adgregatus, perfectus sine ulla dubitatione nascetur. Bis enim .III. .VI. faciunt, qui habet unam quidem a se denominatam partem, id est sextam, .III. vero medietatem secundum dualitatem, at vero .II. secundum coacervationem, id est secundum ternarium, quoniam coacervati .III. multiplicati sunt. .XXVIII. autem eodem modo nascuntur. Si enim super .I. et .II., qui sunt .III. addas sequentem pariter parem, id est .IIII., septenariam facies summam. Sed ultimum numerum quaternarium consequenter adiunxeras. Per hunc igitur si illam coacervationem multiplicaveris, perfectus numerus procreatur. Septies enim .IIII. .XXVIII. sunt, qui est suis partibus par, habens .I. a se denominatum, id est vicesimum octavum, medietatem vero secundum binarium .XIIII., secundum quaternarium .VII., septimum vero secundum septenarium .IIII., secundum omnium collectionem quartum decimum .II., qui vocabulo medietatis obponitur. Ergo cum hi reperti sint, si alios invenire secteris, eadem oportet ratione ut vestiges. Ponas enim .I. licebit, et post hunc .II. et .IIII., qui in septenarium cumulantur. Sed de hoc dudum exstitit .XXVIII. perfectus numerus. Huic igitur qui sequitur pariter par id est .VIII., continens iungatur accessio, qui prioribus superveniens .XV. restituet. Sed hic primus et incompositus non est, habet enim generis alterius partem super illam, quae est a se ipsa denominata, quintam decimam scilicet unitatem. Hunc igitur, quoniam secundus est et compositus, praeterito et adiunge superioribus continentem pariter parem numerum, id est .XVI., qui cum .XV. iunctus, unum ac triginta conficiet. Sed hic primus rursus et incompositus est. Hunc igitur cum extremi adgregati summa multiplica, ut fiant sedecies .XXXI., qui .CCCC. XCVI. explicant. Haec autem est intra millenarium numerum perfecta et suis partibus aequa numerositas. Igitur prima unitas virtute atque potentia non etiam actu vel opere et ipsa perfecta est. Nam si primam ipsam sumpsero de proposito ordine numerorum, video primam atque incompositam, quam si per se ipsam multiplico, eadem mihi unitas procreatur. Semel enim .I. solam efficit unitatem, quae partibus suis aequalis est potentia solum, ceteris etiam actu atque opere perfectis. Recte igitur unitas propria virtute perfecta est, quod et prima est et incomposita et per se ipsam multiplicata sese ipsam conservat.
Sed quoniam de ea quantitate, quae per se fit, dictum est, operis sequentiam
ad illam, quae refertur ad aliquid, transferamus.
XXI. De relata ad aliquid quantitate.
Ad aliquid (relatae) vero quantitatis duplex est prima divisio. Omne enim aut aequale est aut inaequale, quicquid alterius comparatione metimur. Et aequale quidem est, quod ad aliquid comparatum neque minore summa infra est, neque maiore transgreditur, ut denarius denario vel ternarius ternario vel cubitum cubito vel pes pedi et his similia. Haec autem pars relatae ad aliquid quantitatis, id est aequalitas, naturaliter indivisa est. Nullus enim potest dicere, quod aequalitatis hoc quidem tale est, illud vero huiusmodi. Omnis enim aequalitas unam servat in propria moderatione mensuram. Illud etiam, quod, quae ei quantitas comparatur, non alio vocabulo atque ipsa, cui comparatur, edicitur. Nam quemadmodum amicus amico amicus est, vicinusque vicino (vicinus), ita dicitur aequalis aequali (aequalis).
Inaequalis vero quantitatis gemina divisio est. Secatur enim quod inaequale
est in maius atque minus, quae contraria sibimet denominatione funguntur.
Namque maius minore maius est et minus maiore minus est, et utraque non
eisdem vocabulis, quemadmodum secundum aequalitatem dictum est, sed diversis
distantibusque signata sunt, ad modum discentis scilicet vel docentis vel
caedentis vel vapulantis vel quaecunque ad aliquid relata aliter denominatis
contrariis comparantur.
XXII. De speciebus maioris quantitatis et minoris.
Maioris vero inaequalitatis .V. sunt partes. Est enim una, quae vocatur
multiplex, alia superparticularis, tertia superpartiens, quarta multiplex
superparticularis, quinta multiplex superpartiens. His igitur quinque maioris
partibus obpositae sunt aliae quinque partes minoris, quemadmodum ipsum
maius minori semper obponitur, quae minoris species ita singillatim speciebus
quinque maioris his, quae supra dictae sunt, obponuntur, ut eisdem nominibus
nuncupentur, sola tantum sub praepositione distantes. Dicitur enim submultiplex,
subsuperparticularis, subsuperpartiens, submultiplex superparticularis
et submultiplex superpartiens.
XXIII. De multiplici eiusque speciebus earumque
generationibus.
Rursus multiplex est prima pars maioris inaequalitatis cunctis aliis antiquior naturaque praestantior, ut paulo post demonstrabitur. Hic autem huius modi est, ut comparatus cum altero illum, contra quem comparatus est, habeat plus quam semel; quod primum in naturalis numeri dispositione conveniet. Namque ad unum cuncti, qui sequuntur, omnium ordine multiplicium sequentias varietatesque custodiunt. Ad primum enim, id est unitatem, .II. duplus, .III. triplus, .IIII. quadruplus atque ita in ordinem progredientes omnes texuntur multiplices quantitates. Quod autem dictum est plus quam semel, id a binario numero principium capit et in infinitum per ternarium, quaternariumque et ceterorum ordinem sequentiamque progreditur. Contra hunc vero discriminatus est ille, qui vocatur submultiplex; et haec quoque prima minoris quantitatis species est. Hic autem numerus huiusmodi est, qui in alterius comparatione productus plus quam semel maioris numerat summam, sua scilicet quantitate cum eo aequaliter inchoans aequaliterque determinans. Idem autem dico numerat, quod metitur. Si igitur bis solum maiorem numerum minor numerus metiatur, subduplus vocabitur, si vero ter, subtriplus, si quater, subquadruplus et fit per haec in infinitum progressio, additaque eos semper sub praepositione nominabis, ut unus duorum subduplus, trium subtriplus, .IIII. subquadruplus appelletur et consequenter.
Cum autem naturaliter multiplicitas et submultiplicitas infinita sit,
eorum quoque species per proprias generationes in infinita consideratione
versantur. Si enim positis in naturali constitutione numeris singulos per
suas sequentias pares eligas, omnium ab uno parium atque inparium sese
sequentium duplices erunt et huius speculationis terminus deficit. Ponatur
enim naturalis numerus hoc modo: I. II. III. IIII. V. VI. VII. VIII. VIIII.
X. XI. XII. XIII. XIIII. XV. XVI. XVII. XVIII. XVIIII. XX. Horum ergo si
primum sumas parem, id est .II., primi duplus erit, id est unitatis; si
vero sequentem parem, id est .IIII., secundi duplus est, id est duorum;
si vero tertium parem sumas, id est .VI., tertii numeri in naturali constitutione
duplus est, id est ternarii; si vero quartum parem inspicias, id est. VIII.
quarti numeri, id est quaternarii, duplus est. Idemque in ceteris in infinitum
sumentibus sine aliquo inpedimento procedit. Triplices autem nascuntur,
si in eadem dispositione naturali duo semper intermittantur, et qui post
duos sunt, ad naturalem numerum comparentur, excepto ternario, qui, ut
unitatis triplus sit, solum binarium praetermittit. Post unum enim et duo
tres sunt, qui triplus unius est; rursus post .IIII. et .V. sunt .VI.,
qui secundi numeri, id est duorum, triplus est; rursus post .VI. sunt .VII.
et .VIII. et post hos .VIIII., qui tertii numeri, id est ternarii triplus
est; atque hoc idem in infinitum si quis faciat, sine ulla offensione procedit.
Quadruplorum vero generatio incipit, si quis tres numeros intermittat.
Post unum quippe et duo et .III. sunt .IIII., qui primi, id est unius,
quadruplus est; rursus si intermisero quinarium, senarium et septenarium,
octonarius mihi quartus occurrit, tribus scilicet intermissis, qui binarii,
id est secundi numeri quadruplus est; at vero si post .VIII. tres terminos
intermisero, id est .VIIII. vel .X. vel .XI. duodenarius, qui sequitur,
ternarii numeri quadruplus est; atque hoc idem in infinitum progressis
necesse est evenire, semperque una terminorum intermissione si crescat
adiectio, ordinatas te multiplicis numeri vices invenire miraberis. Si
enim .IIII. intermittas, quincuplus invenitur, si .V. sescuplus, si .VI.
septuplus, semperque ipsius multiplicationis nomine uno minus intermissionis
vocabulo procreantur. Nam duplus unum intermittit, triplus .II. quadruplus
.III. quincuplus .IIII. et deinceps ad eundem ordinem sequentia est. Et
omnes quidem dupli secundum proprias sequentias parium numerorum pares
sunt; tripli vero unus semper par terminus, inpar alius invenitur; quadrupli
vero rursus semper parem custodiunt quantitatem constituunturque a quarto
numero uno ex prioribus per ordinem positis paribus intermisso, primo pari
binario, post hunc .VIII. intermisso senario, post hunc .XII. transmisso
denario, atque hoc idem in ceteris. Quincupli vero propositio secundum
triplicis similitudinem alternatim paribus atque inparibus positis ordinatur.
XXIIII. De superparticulari eiusque speciebus
earumque generationibus.
Superparticularis vero est numerus ad alterum comparatus, quotiens habet in se totum minorem et eius aliquam partem; qui si minoris habeat medietatem, vocatur sesqualter, si vero tertiam partem, vocatur sesquitertius, si vero quartam, sesquiquartus, et si quintam, vocatur sesquiquintus; atque his nominibus in infinitum ductis in infinitum quoque superparticularium forma progreditur. Et maiores quidem numeri hoc modo vocantur, minores vero, qui habentur toti et eorum aliqua pars, unus subsesqualter, alter subsesquitertius, alius subsesquiquartus, alius vero subsesquiquintus, atque idem secundum maiorum normam multitudinemque protenditur. Voco autem maiores numeros duces, minores comites. Superparticularium quoque infinita est multitudo ob eam rem, quod eiusdem species interminabili progressione funguntur. Namque sesqualter habebit quidem duces omnes post ternarium numerum naturaliter triplices, comites vero omnes post binarium numerum naturaliter pares, hoc modo ut primus primo, secundus secundo, tertius tertio comparetur et deinceps. Describantur enim longissimi versus triplicium naturalis numeri atque duplicium et sit hoc modo:
I. II. III. IIII. V. VI. VII. VIII. VIIII. X. III. VI. VIIII. XII. XV. XVIII. XXI. XXIIII. XXVII. XXX. II. IIII. VI. VIII. X. XII. XIIII. XVI. VIIII. XX.Primus igitur versus continet numerum naturalem, secundus eius triplicem, tertius vero duplicem. Atque in eo si ternarius binario, vel si senarius quaternario, vel novenarius senario comparetur, vel omnes triplices superiores si duplicibus numeris consequentibus opponantur, hemiolia id est sesqualtera proportio nascetur. .III. enim habent intra se .II. et eorum mediam partem, id est unum. Sex quoque continent intra se .IIII. et eorum medietatem, id est .II. Et .VIIII. intra se senarium claudunt et eius mediam partem, id est .III.; eodemque modo in ceteris.
Dicendum vero est, si quis secundam speciem superparticularis numeri considerare desideret, id est sesquitertiam, quali ratione repperiet. Ac definitio quidem huius comparationis talis est. Sesquitertius est, qui minori comparatus habet eum semel et eius tertiam partem. Sed hi inveniuntur, si omnibus a quaternario numero continuatim quadruplis constitutis a ternario numero triplices comparentur, eruntque duces quadrupli, comites tripli. Sit enim in ordine hoc modo numerus naturalis, ut sub eo quadrupli et tripli subponantur, sub primo quadruplo primus triplus, sub secundo secundus, sub tertio tertius, et eodem modo cuncti eiusdem primi versus tripli in ordinem digerantur.
I. II. III. IIII. V. VI. VII. VIII. VIIII. X. IIII. VIII. XII. XVI. XX. XXIIII. XXVIII. XXXII. XXXVI. XL. III. VI. VIII. XII. XV. XVIII. XXI. XXIIII. XXVII. XXX.Igitur primum primo si compares, sesquitertia ratio continebitur. Nam si .IIII. tribus compares habebunt in se .IIII. totum ternarium et eius tertiam partem, id est .I. Et si secundum secundo id est octonarium senario compares, idem invenies. Habebit enim octonarius senarium totum et eius tertiam partem, id est .II. Et per eandem sequentiam usque in infinitum progrediendum est. Notandum quoque est, quod .III. comites sunt, duces .IIII., rursus .VI. comites, duces .VIII., et in eodem ordine ceteri simili modo vocantur duces sesquitertii comites subsesquitertii. Et in cunctis secundum hunc modum posita convenit servare vocabula.
Hoc autem admirabile profundissimumque in istorum ordinibus invenitur,
quod primus dux primusque comes ad se invicem nulla numeri intermissione
copulantur. Nam primi se nullo in medio posito transeunt, secundi interponunt
unum, tertii duos, quarti tres et deinceps uno semper minore, quam ipsi
sunt, intermissione succrescunt, atque hoc vel in sesqualteris vel in sesquitertiis
vel in aliis superparticularis partibus necesse est inveniri. Namque ut
quaternarius contra ternarium comparetur, nullum intermisimus; post .III.
enim mox .IIII. sunt; ut vero .VI. contra .VIII., in secundo scilicet sesquitertio,
una facta est intermissio. Inter .VI. enim et .VIII. solus est septenarius,
qui transmissus est numerus. Rursus ut .VIIII. contra .XII. comparemus,
qui sunt in dispositione tertii duorum mediorum est facta transmissio.
Inter .VIIII. enim et .XII. sunt .X. et .XI. Secundum hunc modum quarta
dispositio .III., quinta .IIII. intermittit.
XXVI. Descriptio, per quam docetur ceteris inaequalitatis
speciebus antiquiorem esse multiplicitatem.
Quoniam autem naturaliter et secundum propriam ordinis consequentiam multiplicem inaequalitatis speciem cunctis praeposuimus primamque speciem esse monstravimus, licet hoc nobis posterioris operis ordine clarescat, hic quoque perstringentes id, quod proposuimus, planissime breviterque doceamus. Sit enim talis descriptio, in qua ponatur in ordinem usque ad denarium numerum continui numeri ordo naturalis et secundo versu duplus ordo texatur, tertio triplus, quarto quadruplus et hoc usque ad decuplum. Sic enim cognoscemus, quemadmodum superparticulari et superpartienti et cunctis aliis princeps erit species multiplicis et quaedam alia simul inspiciemus et ad subtilitatem tenuissima et ad scientiam utilissima et ad exercitationem iucundissima.
Longitudo. Latitudo. I. II. III. IIII. V. VI.
VII. VIII. VIIII. X. XII. XIIII. XVI. XVIII. XX. XV. XXI. XXIV. XXVII.
XXX. XXIIII. XXVIII. XXXII. XXXVI. XL. XXV. XXXV. XLV. L. XLII. XLVIII.
LIIII. LX. XLVIIII. LVI. LXIII. LXX. LXIIII. LXXII. LXXX. LXXXI. XC. C.
XXVII. Ratio atque expositio digestae formulae.
Si igitur duo prima latera propositae formulae, quae faciunt angulum ab uno ad .X. et .X. procedentia, respiciantur et his subteriores ordines comparentur, qui scilicet a .IIII. angulum incipientes in vicenos terminum ponunt, duplex, id est prima species multiplicitatis ostenditur ita, ut primus primum sola superet unitate, ut duo unum, secundus secundum binario supervadat, ut quaternarius binarium, tertius tertium tribus, ut senarius ternarium, quartus quartum quaternarii numerositate transcendat, ut .VIII. quaternarium, et per eandem cuncti sequentiam sese minoris pluralitate praetereant. Si vero tertius angulus aspiciatur, qui ab .VIIII. inchoans longitudinem latitudinemque tricenis altrinsecus numeris extendit, et hic cum prima latitudine et longitudine comparetur, triplex species multiplicitatis occurrit ita, ut ista comparatio per .X. litteram fiat, hique se numeri superabunt secundum paritatis factam naturaliter connexionem. Primus enim primum duobus superat, ut unum tres, secundus secundum quaternario, ut binarium senarius, tertius tertium sex, ut ternarium novenarius, et ad eundem ceteri modum progressionis augescunt. Quam rem nobis scilicet et ipsa naturalis obiecit integritas, nihil nobis extra machinantibus, ut in ipso modulo descriptionis apparet. Si quis autem quarti anguli terminum, qui .XVI. numeri quantitate notatus est et longitudinem latitudinemque in quadragenos determinat, velit superioribus comparare, per .X. litterae formam proportione conlata, quadrupli multitudinem pernotabit, hisque est ordinabilis super se progressio, ut primus primum tribus superet, ut .IIII. unitatem, secundus secundum senario vincat, ut .VIII. binarium, tertius tertium novenario transeat, ut duodenarius ternarium, et sequentes summulae trium se semper adiecta quantitate transsiliant. Et si quis subteriores aspiciat angulos, idem per omnes multiplicitatis species usque ad decuplum dispositissima ordinatione perveniet. Si quis vero in hac descriptione superparticularis species requirat, tali modo repperiet. Si enim secundum angulum notet, cuius est initium quaternarius, eique superiacet binarius, atque ad hunc sequentem quis accommodet ordinem, sesqualtera proportio declarabitur. Nam tertius secundi versus sesqualter est, ut .III. ad .II., vel .VI. ad .IIII., vel .VIIII. ad .VI. vel .XII. ad .VIII. itemque in ceteris, qui sunt in eadem serie numeri, si talis coniugatio misceatur, nulla varietatis dissimilitudo subripiet. Eadem tamen summarum supergressio est in hoc quoque, quae in duplicibus fuit. Primus enim primum, id est ternarius binarium, uno superat, secundus vero secundum duobus, tertius tertium tribus et deinceps. Si vero quartus ordo tertio comparetur, ut .IIII. ad .III. et eodem ceteros ordine consecteris, sesquitertia comparatio colligetur, ut .IIII. ad .III. vel .VIII. ad .VI. et .XII. ad .VIIII. Videsne ut in omnibus his sesquitertia comparatio conservetur? Praeterea eos, qui sub ipsis sunt, si idem faciens sequentes versus alterutris comparaveris, omnes sine ullo inpedimento species superparticularis agnosces.
Hoc autem in hac est dispositione divinum, quod omnes angulares numeri
tetragoni sunt. Tetragonus autem dicitur, ut brevissime dicam, quod post
latius explicabitur, quem duo aequales numeri multiplicant, ut in hac quoque
descriptione est. Unus enim semel unus est, et est potestate tetragonus.
Item bis duo .IIII. sunt, ter tres .VIIII., quos in semet ipsos multiplicationes
primi ordinis perfecerunt. Circum ipsos vero qui sunt, id est circum angulares,
longilateri numeri sunt. Longilateros autem voco, quos uno se supergredientes
numeri multiplicant. Circum .IIII. enim .II. sunt et .VI. Sed duo nascuntur
ex uno et duobus, cum unum bis multiplicaveris; sed unitas a binario unitate
praeceditur; .VI. vero ex duobus et tribus; bis enim tres senarium reddunt.
Novenarium vero .VI. et .XII. claudunt qui .XII. ex tribus nascuntur et
.IIII. ter enim .IIII. fiunt .XII., senarius vero ex duobus et tribus,
bis enim tres faciunt .VI. qui omnes uno maioribus lateribus procreati
sunt. Nam cum .VI. ex binario ternarioque nascantur, tres binarium numerum
uno superant, cunctique alii eiusdem modi sunt, ut primo et secundo ordine
ad alterutrum multiplicatis terminis procreentur, ita ut quod nascitur
ex duobus longilateris altrinsecus positis et bis medio tetragono tetragonus
sit; et rursus, quod ex duobus altrinsecus tetragonis et uno medio longilatero
bis facto nascitur, ipse quoque tetragonus sit; et ut angulorum totius
descriptionis ad angulares tetragonos positorum unius anguli sit prima
unitas, alterius vero, qui contra est, tertia, bini vero altrinsecus anguli
secundas habeant unitates; et duo angularium tetragonorum anguli aequum
faciunt, quod sub ipsis continetur, illi, quod fit ab uno illorum, qui
est altrinsecus, angulorum. Multa etiam sunt alia quae in hac descriptione
utilia possint admirabiliaque perpendi, quae interim propter castigatam
introducendi brevitatem ignota esse permittimus. Nunc vero ad sequentia
propositum convertamus.
XXVIII. De tertia inaequalitatis specie, quae
dicitur superpartiens deque eius speciebus earumque generationibus.
Igitur post duas primas habitudines multiplices et superparticulares et eas, quae sub ipsis sunt, submultiplices et subsuperparticulares tertia inaequalitatis species invenitur, quae a nobis superius superpartiens dicta est. Haec autem est, quae fit, cum numerus ad alium comparatus habet eum totum intra se et eius insuper aliquas partes, vel duas vel tres vel .IIII. vel quotquot ipsa tulerit comparatio; quae habitudo incipit a duabus partibus tertiis; nam si duas medietates habuerit, qui illum intra se totum coercet, duplus pro superpartiente componitur. Habebit autem vel duas quintas vel duas septimas vel duas nonas et ita progredientibus, si duas solas partes minoris numeri superhabuerit per easdem partes inparibus numeris minorem maior summa transcendit. Nam si eum habeat totum et duas eius quartas, superparticularis necessario repperitur, nam duae quartae medietas est et fit sesqualtera comparatio; sin vero duas sextas, rursus est superparticularis, duae enim sextae pars tertia est, quodsi in comparatione ponatur, sesquitertiae habitudinis efficiet formam.
Post hos nascuntur comites, qui subsuperpartientes vocantur. Hi autem sunt, qui habentur ab alio numero, et eorum vel duae vel tres vel .IIII. vel quotlibet aliae partes. Si ergo numerus alium intra se numerum habens eius duas partes habuerit, superbipartiens nominatur, sin vero tres, supertripartiens, quodsi .IIII., superquadripartiens, atque ita progredientibus in infinitum fingere nomina licet. Ordo autem eorum naturalis est, quotiens disponuntur a tribus omnes pares atque inpares numeri naturaliter constituti et sub his aptantur alii, qui sunt a quinario numero incipientes omnes inpares. His igitur ita dispositis si primus primo, secundus secundo, tertius tertio et ceteri ceteris comparentur, superpartiens habitudo procreatur. Sit enim dispositio hoc modo:
III. IIII. V. VI. VII. VIII. VIIII. X. V. VII. VIIII. XI. XIII. XV. XVII. XVIIII.Si igitur quinarii numeri ad ternarium comparatio consideretur, erit superpartiens ille, qui vocatur superbipartiens; habet enim quinarius totos in se tres et eorum duas partes id est duo. Si vero ad secundum ordinem speculatio referatur, supertripartiens proportio cognoscetur atque ita in sequentibus per omnes dispositos numeros omnes in infinitum species huius numeri convenientes ordinatasque respicies.
At vero quemadmodum singuli procreentur si in infinitum quis curet agnoscere, hic modus est. Habitudo enim superbipartientis, si utrisque terminis duplicetur, semper superbipartiens proportio procreatur. Si enim quis duplicet .V., faciet .X., si .III., faciet .VI., qui .X. contra senarium comparati superbipartientem faciunt habitudinem. Et hos ipsos rursus si duplicaveris, idem ordo proportionis adcrescit, idemque si infinitum facias, statum prioris habitudinis non mutabit. Si vero supertripartientes invenire contendas, primos supertripartientes, id est .VII. et .IIII. triplicabis et huiusmodi nascentur. Si vero, qui ex his nati fuerint, ternarii multiplicatione produxeris, idem rursus efficient. Quodsi superquadripartientes quemadmodum in infinitum progrediantur, appetas addiscere, primas eorum radices in quadruplum multiplices licet, id est .VIIII. et .V. et eos, qui illa multiplicatione proferentur, rursus in quadruplum, et eandem fieri proportionem inoffensa nimirum ratione repperies; et ceterae species una semper plus multiplicatione crescentibus radicibus oriuntur. Radices autem proportionum voco numeros in superiore dispositione descriptos, quasi quibus omnis summa supradictae comparationis innititur.
Hoc quoque videndum est, quoniam, cum duae partes ex minore plus in
maioribus sunt, tertii semper vocabulum subauditur, ut superbipartiens
qui dicitur, quoniam duas minoris numeri tertias partes habet, dicatur
superbipartiens tertias; et cum dico supertripartiens, subaudiri necesse
sit supertripartiens quartas, quoniam tribus super quartis exuberat; et
superquadripartienti subauditur superquadripartiens quintas, et ad eundem
modum in ceteris uno semper adiecto super habitas partes subauditio facienda
est, ut eorum germana convenientiaque his nomina haec sint: qui dicitur
superbipartiens, idem dicatur superbitertius; qui dicitur supertripartiens,
is sit supertriquartus, et qui dicitur superquadripartiens, idem dicatur
superquadriquintus, eademque similitudine usque in infinitum nomina producantur.
XXVIIII. De multiplici superparticulari.
Igitur relatae ad aliquid quantitatis simplices et primae species hae sunt. Duae vero aliae ex his velut ex aliquibus principiis componuntur, ut multiplices superparticulares et multiplices superpartientes, horumque comites submultiplices superparticulares et submultiplices superpartientes. Namque in his ut in praedictis proportionibus minores numeri omnes addita sub praepositione dicuntur, quorum definitio talis reddi potest. Multiplex superparticularis est, quotiens numerus ad numerum comparatus habet eum plus quam semel et eius unam partem, hoc est habet eum aut duplum aut triplum aut quadruplum aut quotienslibet et eius quamlibet aliquam partem vel mediam vel tertiam vel quartam vel, quaecunque alia partium exuberatione contigerit. Hic ergo ex multiplici et superparticulari consistit. Quod enim comparatum numerum plus quam semel habet, multiplicis est, hoc vero, quod minorem in habenda parte transcendit, superparticularis. Itaque ex utroque nomine ficto vocabulo est speciesque eius ad illarum scilicet fiunt imaginem proportionum, ex quibus ipse numerus originem trahit. Nam prima pars huius vocabuli, quae multiplicis nomine possessa est, multiplicis numeri specierum vocabulo nominanda est, quae vero superparticularis est, eodem vocabulo nuncupabitur, quo superparticularis numeri species vocabantur. Dicetur enim, qui duplicem habuerit alium numerum et eius mediam partem, duplex sesqualter, qui vero tertiam, duplex sesquitertius, qui quartam, duplex sesquiquartus et deinceps. Si vero ter eum totum contineat et eius mediam partem vel tertiam vel quartam, dicetur triplex sesqualter, triplex sesquitertius, triplex sesquiquartus et eodem modo in ceteris; diceturque quadruplus sesqualter, quadruplus sesquitertius, quadruplus sesquiquartus; et quotiens totum numerum in semet ipso continuerit per multiplicis numeri species appellabitur, quam vero partem comparati numeri clauserit, secundum superparticularem comparationem habitudinemque vocabitur.
Horum autem exempla huiusmodi sunt. Duplex sesqualter est, ut .V. ad duo. Habent enim .V. binarium numerum bis et eius mediam partem, id est .I. Duplex vero sesquitertius est septenarius ad ternarium comparatus. At vero novenarius ad quaternarium duplex sesquiquartus; si vero .XI. ad .V., duplex sesquiquintus; et hi semper nascentur dispositis in ordinem a binario numero omnibus naturaliter paribus inparibusque terminis, si contra eas omnes a quinario numero inpares comparentur, ut primum primo, secundum secundo, tertium tertio caute et diligenter adponas, ut sit dispositio talis:
II. III. IIII. V. VI. VII. VIII. VIIII. X. XI. V. VII. VIIII. XI. XIII. XV. XVII. XVIIII. XXI. XXIII.Si vero a duobus paribus omnibus dispositis terminis illi, qui a quinario numero inchoantes quinario numero rursus sese transsiliunt, comparentur, omnes duplices sesqualteros creant, ut est subiecta descriptio,
II. IIII. VI. VIII. X. XII. V. X. XV. XX. XXV. XXX.Si vero a tribus inchoent dispositiones et tribus sese transsiliant, et ad eos aptentur, qui a septenario inchoantes septenario sese numero transgrediuntur, omnes duplices sesquitertii habita diligenter comparatione nascuntur, ut subiecta descriptio monet.
III. VI. VIIII. XII. XV. XVIII. XXI. VII. XIIII. XXI. XXVIII. XXXV. XLII. XLVIIII.Sin vero omnes in ordinem quadrupli disponantur, hi qui naturalis numeri quadrupli sunt, ut unitatis quadruplus, et duorum triumque et quattuor atque quinarii et ceterorum sese sequentium, et ad eos aptentur a novenario numero inchoantes semper sese novenario praecedentes, tunc duplicis sesquiquartae proportionis forma texetur.
IIII. VIII. XII. XVI. XX. XXIIII. VIIII. XVIII. XXVII. XXXVI. XLV. LIIII.Ea vero species huius numeri, quae est triplex sesqualtera, hoc modo procreatur, si disponantur a binario numero omnes in ordinem pares et ad eos a septenario numero inchoantes septenario sese supergredientes solito ad alterutrum comparationis modo aptentur.
II. IIII. VI. VIII. VII. XIIII. XXI. XXVIII.Si autem a ternario numero ingressi cunctos naturalis numeri triplices disponamus et eis a denario numero denario sese supergredientes ordine comparemus, omnes triplices sesquitertii in ea terminorum continuatione provenient.
III. VI. VIIII. X. XX. XXX.
Horum autem eorumque qui sequuntur exempla integre planeque possumus
pernotare, si in priorem descriptionem, quam fecimus, cum de superparticulari
et multiplici loqueremur, ubi ab uno usque in denariam multiplicationem
summa concrevit, diligens velimus acumen intendere. Ad primum enim versum
omnes, qui sequuntur, conlati ordinatas convenientesque multiplicis species
reddent. Sin vero ad secundum cunctos, qui tertii sunt ordinis, aptaveris,
ordinatas species superparticularis agnosces. Quod si tertio ordini, quicunque
sunt in quinto versu, compares superpartientis numeri species positas convenienter
aspicies. Multiplex vero superparticularis ostenditur, cum ad secundum
versum omnes, qui sunt quinti versus serie comparantur, vel qui sunt in
septimo, vel qui sunt in nono, atque ita si in infinitum sit ista descriptio,
in infinitum huius proportionis species procreabuntur. Manifestum autem
hoc etiam est, quod horum comites semper cum sub praepositione dicentur,
ut est subduplex sesqualter, subduplex sesquitertius, subduplex sesquiquartus
et ceteri quidem ad hunc modum.
XXXI. De multiplici superpartiente.
Multiplex vero superpartiens est, quotiens numerus ad numerum comparatus
habet in se alium numerum totum plus quam semel et eius vel duas vel tres
vel quotlibet plures particulas secundum numeri superpartientis figuram.
In hoc quoque propter causam superius dictam non erunt duae medietates
neque duae quartae neque duae sextae, sed duae tertiae vel duae quintae
vel duae septimae ad priorum similem consequentiam. Non est autem difficile
secundum priorum exempla positorum hos quoque et praeter nostra exempla
numeros invenire. Vocabunturque hi secundum proprias partes duplex superbipartiens,
vel duplex supertripartiens, vel duplex superquadripartiens, et rursus
triplex superbipartiens et triplex supertripartiens et triplex superquadripartiens
et similiter, ut, .VIII. ad .III. comparati faciunt duplicem superbipartientem,
et .XVI. ad .VI. et omnes, quicunque ab .VIII. incipientes octonario sese
numero transgrediuntur, comparati ad eos, qui a tribus inchoantes ternaria
sese quantitate praetereunt. Nec erit difficile alias eius partes secundum
praedictum modum diligentibus repperire. Hic quoque illud meminisse debemus,
quod minores et comites non sine sub praepositione nominantur, ut sit subduplex
superbipartiens, subduplex supertripartiens.
XXXII. Demonstratio quemadmodum omnis inaequalitas
ab aequalitate processerit.
Restat autem nobis profundissimam quandam tradere disciplinam, quae ad omnem naturae vim rerumque integritatem maxima ratione pertineat. Magnus quippe in hac scientia fructus est, si quis non nesciat, quod bonitas definita et sub scientiam cadens animoque semper imitabilis et perceptibilis prima natura est et suae substantiae decore perpetua, infinitum vero malitiae dedecus est, nullis propriis principiis nixum, sed natura semper errans a boni definitione principii tamquam aliquo signo optimae figurae inpressa componitur et ex illo erroris fluctu retinetur. Nam nimiam cupiditatem iraeque immodicam effrenationem quasi quidam rector animus pura intellegentia roboratus adstringit, et has quodammodo inaequalitatis formas temperata bonitate constituit. Hoc autem erit perspicuum, si intellegamus, omnes inaequalitatis species ab aequalitatis crevisse primordiis, ut ipsa quodammodo aequalitas matris et radicis obtinens vim ipsa omnes inaequalitatis species ordinesque profundat. Sint enim nobis tres aequales termini, id est tres unitates, vel ter bini vel ter terni vel ter quaterni vel quantos ultra libet ponere. Quod enim in unis tribus terminus evenit, idem contingit in ceteris. Ex his igitur secundum praecepti nostri ordinem videas primum nasci multiplices et in his duplices prius, dehinc triplos, inde quadruplos et ad eundem ordinem consequentes. Rursus multiplices si convertantur, ex his superparticulares orientur, et ex duplicibus quidem sesqualteri ex triplis sesquitertii, ex quadruplis sesquiquarti et ceteri in hunc modum. Ex superparticularibus vero conversis superpartientes nasci necesse est, ita ut ex sesqualtero nascatur superbipartiens, supertripartientem sesquitertius gignat et ex sesquiquarto superquadripartiens procreetur. Rectis autem positis neque conversis prioribus superparticularibus multiplices superparticulares oriuntur; rectis vero superpartientibus multiplices superpartientes efficiuntur. Praecepta autem tria haec sunt, ut primum numerum primo facias parem, secundum vero primo et secundo, tertium primo, secundis duobus et tertio. Hoc igitur cum in terminis aequalibus feceris, ex his qui nascentur, duplices erunt, de quibus duplicibus si idem feceris, triplices procreantur et de his quadruplices atque in infinitum omnes formas numeri multiplicis explicabit. Iaceant igitur tres termini aequales.
I. I. I.Ponatur itaque primo primus aequalis, id est unus, secundus vero primo et secundo, id est .II., tertius vero primo, duobus secundis et tertio par sit, id est uni et duobus unis et uni, quod sunt .IIII. ut est descriptio.
I. I. I. I. II. IIII.Videsne ut duplici proportione sequens ordo texatur? Fac rursus idem de duplicibus, ut sit primus primo aequalis, id est uni, secundus primo et secundo, id est uni et duobus, qui sunt tres, tertius primo, id est uni, duobus secundis, id est .IIII., et tertio, id est .IIII., qui simul .VIIII. fiunt, et venit haec formula.
I. I. I. I. II. IIII. I. III. VIIII.Rursus si triplicibus idem feceris, continuus quadruplus procreabitur. Sit enim primus primo aequus, id est unus, sit secundus primo et secundo aequalis, id est .IIII., sit tertius primo, duobus secundis et tertio aequalis, id est .XVI.
I. I. I. I. II. IIII. I. III. VIIII. I. IIII. XVI.Et in ceteris quidem ad hanc formam tribus his praeceptis utemur. Si vero qui ex aequalibus nati sunt multiplices, eos disponamus et secundum haec praecepta vertamus, ita ut converso sint ordine, sesqualter ex duplici procreabitur, sesquitertius ex triplici, sesquiquartus ex quadruplo. Sint enim .III. duplices termini, qui ex aequalibus creati sunt, et qui ultimus est, primus ponatur hoc modo:
IIII. II. I.Et constituatur primo in hoc ordine primus par, id est .IIII., secundus vero primo et secundo par, id est .VI., tertius vero primo, duobus secundis et tertio, id est .VIIII.
IIII. II. I. IIII. VI. VIIII.Ecce tibi illa sesqualtera quantitas ex termino duplicitatis exoritur. Videamus nunc ad eundem modum, ex triplici qui nascatur. Disponantur enim triplices superiores
VIIII. III. I.Converso scilicet ordine, sicut duplex, hic est quoque ordo dispositus. Ponatur ergo primus primo aequus, id est .VIIII., secundus primo et secundo, id est .XII., tertius primo, duobus secundis et tertio aequus, id est .XVI.
VIIII. III. I. VIIII. XII. XVI.Rursus secunda species superparticularis numeri, id est sesquitertius procreatus est. Quod si idem de quadruplo quis facere velit, sesquiquartus continuo nascetur, ut subiecta monstrat descriptio.
XVI. IIII. I. XVI. XX. XXV.Ac si quis idem de cunctis in infinitum partibus multiplicitatis faciat, convenienter ordinem superparticularitatis inveniet. Quod si conversos superparticulares aliquis secundum haec praecepta convertat, continuo videat superpartientes adcrescere et ex sesqualtero quidem superbipartiens, ex sesquitertio supertripartiens procreatur et ceteri secundum communes denominationis species sine ulla ordinis interpolatione nascentur. Disponantur igitur sic:
VIIII. VI. IIII.Superioris igitur descriptionis primo primus aequus numerus adscribatur, id est .VIIII. secundus vero primo et secundo, id est .XV., tertius vero primo, duobus secundis et tertio, id est .XXV.
VIIII. VI. IIII. VIIII. XV. XXV.Si vero sesquitertium eodem modo vertamus, ordo supertripartiens invenitur. Sit enim prima positio sesquitertii
XVI. XII. VIIII.Ponatur secundum priorem modum primo primus par, id est .XVI., secundus primo et secundo, id est .XXVIII., tertius primo, duobus secundis et tertio, id est .XLVIIII. Omnis ergo summa disposita supertripartientes efficiet.
XVI. XII. VIIII. XVI. XXVIII. XLVIIII.Rursus si sesquiquartum eodem modo verteris, superquadripartiens statim quantitas procreabitur, ut est ea forma, quam subpositam vides.
XXV. XX. XVI. XXV. XLV. LXXXI.Restat, quemadmodum ex superparticularibus et superpartientibus multiplices superparticulares vel multiplices superpartientes nascantur ostendere, quorum binas tantum faciam descriptiones. Namque si rectum et non conversum sesqualterum ponimus, duplex superparticularis excrescit. Sit enim hoc modo:
IIII. VI. VIIII.Ponatur secundum superiorem modum primo primus aequalis, id est .IIII., secundus primo et secundo, id est .X., tertius primo, duobus secundis et tertio aequalis, id est XXV.
IIII. VI. VIIII. IIII. X. XXV.Atque haec quidem duplex sesqualtera summa producta est; si vero sesquitertium non conversum ponamus duplex sesquitertius invenitur, ut subiecta descriptio docet:
VIIII. XII. XVI. VIIII. XXI. XLVIIII.At vero si ad superpartientes animum convertamus eosque ordinatim secundum superiora praecepta disponamus, multiplices superpartientes ordinatim progenitos repperiemus. Disponatur enim superpartientis haec formula:
VIIII. XV. XXV.Adscribatur ergo primus primo aequus, id est .VIIII., secundus primo et secundo, id est .XXIIII., tertius primo, duobus secundis et tertio, id est LXIIII.
VIIII. XV. XXV. VIIII. XXIIII. LXIIII.Videsne, ut ex superbipartiente duplus superbipartiens exortus sit? At vero si supertripartientem ponam, duplex sine dubio supertripartiens invenitur, ut in subiecta descriptione perspicuum est.
XVI. XXVIII. XLVIIII. XVI. XLIIII. CXXI.Sic ergo de superparticularibus vel de superpartientibus multiplices superparticulares vel multiplices superpartientes oriuntur. Quare constat, omnium inaequalitatum aequalitatem esse principium. Ex eadem enim inaequalia cuncta nascuntur. Ac de his quidem hactenus disserendum esse credidimus, ne vel infinita sectemur, vel circa res obscurissimas ingredientium animos detinentes ab utilioribus moraremur.
...............