Musik
ist empfundene,
verzeitlichte,
hörbare Mathematik

Die schematische Spiegelung dieser Reihe ergibt:

1.   2.   3.       4.   5.   6.     7.      8.    9.   10.   11.    12.  13.  14.  15.    16.
c    C   F₁      C₂  As₃ F₃   +D₃    C₃   B₄   As₄ +Ges₄ F₄  -E₄ +D₄ Des₄  C₅
1. – 2.            - 3.                         - 4. Oktave abwärts
- Subdom.-Molldreiklang -          -"Phrygische" Skala
 

Nun könnten wir uns darüber freuen, daß sich hier zusätzlich noch ein schwerlastiges phrygisches oder gar hypolydisches Moll anbahnt (11., auch 15. Teiltonspiegelung), während die entsprechende vierte Oktave des (natürlichen) Teiltonreihenausschnitts die angelegte Durtonalität mit Erhöhung der Quartstufe ins Lydische "übertreibt" (gleichfalls 11. Teilton) und jede Subdominantik peinlich vermeidet.

Aber diese Ableitung ist nichts als eine schematische Spiegelung, kommt in der Natur nicht vor - und bildet gleichwohl die Grundlage unseres gesamten tonalen Systems, über die Symmetrie der Kadenz weit hinaus.

Andrerseits ist ihr argumentativer Wert zur Lösung gleich dreier Ableitungsprobleme auf einen Schlag so bestechend, daß nichts uns dazu bewegen könnte, wieder zur allseits beliebten Erklärung des Moll-Dreiklangs als eines in der Terz ein wenig "getrübten" Dur-Dreiklangs zurückzukehren. Und woher näme die Tendenz zur Trübung ihre Kraft und Ursache? Selbst diese "Erklärung" ist begründungsblind.

Nur ist in weit stärkerem Maße diese Begründungsblindheit auch der Mangel unserer unmittelbaren Teiltonreihen-Spiegelung. Deren Schematismus kann nicht auf gleicher Ebene liegen wie das Faktum der mitschwingenden Frequenz-Vielfachen, der sogenannten Obertöne. Diese scheinbare "Untertonreihe" ist zunächst einmal bloß hypothetisch, und träfe sie auch mehr als die genannten drei "Fliegen" auf einen Streich.

Da Subdominantik, Quartenzirkel und Moll-Tonalität nicht Erfindungen der Musiktheoretiker, sondern zumindest im neuzeitlichen Abendland und allen folgenden Nachtländern eine funktional unentbehrliche Hälfte des faktisch genutzten harmonischen Systems sind, suchen wir also etwas, das aus der bloß schematischen Spiegelung eine faktische macht.

Auf jeden Fall wird diese Spiegelung wirklich vollzogen, nur eben nicht von der Natur allein in ihren schwingenden Materien, sondern im Hörer, besonders auch im innerlich singenden Hörer, dem Verwirklichungsorgan der Musik "im Geist und in der Wahrheit". Es ist ein deutender Akt, ein umdeutender Vollzug seitens desjenigen, der harmonische Verhältnisse zu verstehen sucht.

Und das heißt: Diese großangelegte Spiegelung ist nicht so simultan gegeben und gegenwärtig wie der stabile Durdreiklang der Teiltonreihe und dessen Auffüllung mit der immanenten Dominante – jeder dritte Teilton – und der "lydischen" Skala im vierten Oktavfeld. Sie wird Schritt für Schritt in einem Akt von Umdenken, Uminterpretieren, Basiswechseln vollzogen.

Also, um mit dem ersten potentiellen Schritt dieser Art anzufangen: der Ausgangston wird als zweiter Teilton einer tieferliegenden Reihe aufgefaßt. Das bringt scheinbar nicht viel, in Wirklichkeit erklärt es aber die große Bedeutung der einfachen Quinte, eben nicht Duodezime, also die praktikable Einpassung dieser Dominantengrundlage und tonikalen Dreiklangsumrahmung in den grundtonnahen Oktavraum, wie auch alle weiteren Oktavtranspositionen, etwa der skalar anmutenden Sekundintervalle der Teiltonreihe, hinab in die Nachbarschaft des Grundtons. Nun gut, wir wollen es nicht hier schon komplizieren.

Der nächste Schritt ist in all seiner Schlichtheit bedeutsamer: Umdeutung des Ausgangstons zum dritten Teilton bzw. harmonisch vereinfacht (oktaviert) zur Quinte eines tiefergelegenen, also zum Basiston der Subdominante.

Wesentlich ist zunächst, daß diese nach der Quinte zum Grundton wichtigste funktionale Stufe an den unteren Oktavenstockwerken der Teiltonreihe nicht teilhat, durch das interpretierende Umhören der vormaligen Tonika in die Dominante eines ideellen Basistons allerdings lokalisiert wird und in Funktion tritt. Daß dies tatsächlich ein epochenbildender Hürdensprung ist, zeigt der Sachverhalt, daß nur die abendländische Musik und die von ihr beeinflußten Musikkulturen die Subdominante harmonisch nutzen. Man vergleiche besonders die indische Musik, die bei aller melodischen Reichhaltigkeit zum einen keine Modulationen kennt, in denen ja solche Basistonwechsel notwendig wären, zum andern den Grundton mit der Tanbura immer durchtönen läßt, in der Regel mit dem dominantischen Bordun – eine deutliche Teiltonreihen-Fixierung, die allerdings von der Skalen- und Melodieführung der Ragas spannungsreich kontrapunktiert wird. Die melodieimmanente Harmonik versucht also die Naturlastigkeit des ewigen Borduns und des bekannten breiten, obertonüberreichen Klangbildes nach allen Regeln der Kunst auszugleichen.

Ähnliche Tendenzen sind im Blues bestimmend, sofern er tonikal fixiert ist. Ansonsten, in der strophischen Schematik und in den Klauseln, nutzt er allerdings die Rameausche Kadenz weidlich aus, wobei die Subdominante in der Regel auf der "dorischen" Blues-Skala nach Dur klingt.

Die Funktion der Oktavierung für das "Zusammenschieben" der weiten Intervalle und die Nutzung der Sekundschritte in der harmonischen Begründung der Skalen, nun mit der Umdeutung des Ausgangstons zum vierten Teilton einer ideellen Basis wieder wirksam, wurde bereits erläutert.

Für die Dreiklangsbildung ist dann noch die Ableitung der Terz aus dem fünften Teilton von Interesse, das heißt für unseren spiegelnden Modulationsschritt: Der Ausgangston wird als Durdreiklangs-Terz aufgefaßt, so daß nun der Grundton der unteren großen Mediante "beigehört" wird, die zwischen dem fünften Teilton – unserem Ausgangston – und der entsprechenden Basis auch zur Gänze als Dur-Dreiklang entwickelt ist. Und zwar erscheint diese wesentlich deutlicher und in der Ableitung schlichter, als die obere große Mediante, die wir, angeregt durch diesen Fund, nun in der naturalen Teiltonreihe aufsuchen: Dort ist sie durch die Vielfachen des fünften Teiltones eingelagert, versinkt allerdings im chromatischen Cluster der höheren Oktavbereiche und deren Unscheinbarkeit, ganz anders als die ungestörte Fülle der unteren großen Mediante im Funktionswechsel des Ausgangstones. Das eigentlichere Entsprechungsbild in der Teiltonreihe "oben" ist die große Terz vom 5. auf den 4. Teilton, so wie das Entsprechungsintervall für die Umdeutung der Tonika in eine Subdominante die Quart vom 4. zurück auf den 3. Teilton darstellt. Nur eben mit dem Unterschied zu deren simultaner Präsenz im tonikalen Durdreiklang, daß sie als eigenständige Schritte aus dem tonikalen Gefüge isoliert werden müssen, um funktional gewendet und sogar mit Bezug auf ihren Grundton moduliert zu werden: Wir könnten also überhaupt, statt den Ausgangston festzuhalten, genausogut einen seiner wesentlichen ersten Teiltöne fixieren und kämen zu dem gleichen Ergebnis.

Mit Umdeutung des Ausgangstons zu einer Dreiklangsquinte wird wieder die subdominantische Basis erreicht. Aber wie läßt sich damit der Molldreiklang ableiten, der bei der schematischen Spiegelung der gesamten Teiltonreihe so deutlich präsent war, in der schrittweisen, Schritt für Schritt gestuften Modulation nun allerdings verloren geht?

In der Tat ist der Weg wieder frei, der durch das Phantom eines subdominantischen Molldreiklangs in der "Untertonreihe" verstellt war. Wir sind davon entlastet, die Spiegelung der Teiltonreihe in der gleichen Absolutheit bzw. in gleichgewichtiger Symmetrie zu deren harmonischem Kristallin festzuhalten. Sobald einmal die Möglichkeit der modulierenden Umwendung der fundamentalen Teiltonintervalle freisteht, dürfen wir uns induktiv am Gegebenen orientieren: Welche Molldreiklänge sind uns vielleicht schon mit der Teiltonreihe selbst ermöglicht? Es ist ja nicht notwendig, deren Basis auf den "ersten Teilton" festzulegen; ganz im Gegenteil haben wir in diesem Verfahren ja die Basistöne aus der funktionalen Wertigkeit erst rückwirkend "erschlossen".

Vielfache eines Tones mit den gemeinsamen Vielfachen seiner Teiltöne:

                                  10                                       20  
                               9                                    18                                   27
                           8                              16                                24
                       7                          14                           21
                   6                     12                       18                       24
               5                10                  15                    20                   25
           4             8              12              16               20              24
       3          6          9         12          15          18          21          24         27
   2      4      6      8     10     12      14     16     18      20     22      24     26
1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26

Ausgeführt am Beispiel des Ausgangstons c:

                                                 e3                                                                             e4
                                                         d3                                                                     d4         
                                                  c3                                                             c4                       
                                          -b2                                                     -b3                                    
                                   g2                                          g3                                             d4      
                           e2                                 e3                                        h3                                 e4
                    c2                          c3                           g3                              c4                          e4
              g1                 g2                  d3                    g3                       h3                  d4   
        c1        c2           g2           c3          e3             g3               -b3          c4           d4           e4
c      c1  g1  c2   e2    g2   -b2   c3   d3   e3  -fis3    g3   +gis3   -b3   h3   c4  cis4  d4  dis4  e4  
 
Die Reihen, die durch Umdeutung des Augsgangstons c zu einem ersten, zweiten usw. Teilton der nächsttieferen fünf möglichen Teiltonreihen entstehen:

1.Teilton:                                 c                                c1                              g1                      c2
2.Teilton:                C               c               g               c1            e1              g1           -b1      c2
3.Tt.:               F1           F        c         f             a       c1       -es1    f1         g1      a1      -h1  c2
4.Tt.:         C1         C        G     c      e       g        -b    c1    d1    e1     -fis    g1  +as1 -b1  h1 c2
5.Tt.: As2        As1     Es   As  c   es  -ges   as    b   c1  -d1  es1 -f1  ges  g1  as1
 
Reihen durch Umdeutung des dritten Teiltons (g1) zu einem ersten, zweiten usw.:

1.Teilton:                                 g1                                       g2                                     d3
2.Teilton:              g                 g1                    d2               g2                 h2                d3
3.Tt.:            c            c1          g1         c2                e2      g2         -b2        c3           d3
4.Tt.:       G           g       d1       g1      h1          d2      -f2    g2       a2      h2    -cis      d3    +es3
5.Tt.:  Es         es     b    es1    g1    b1   -des2   es2   f2    g2    -a2   b2    -c3 des3   d3    es3
 

Besonders ergiebig ist die schrittweise Umdeutung des ursprünglich fünften Teiltons (e2) zu einem ersten, zweiten usw. bis hinab zum fünften Teilton des ursprünglichen Ausgangston (c): Deutlich erscheint – in nur schematischer Simultaneität der realiter nichtsimultanen Reihen! – die saubere Ableitung des oberen Tetrachords der Durtonleiter auf dem Ausgangston (c) sowie der tonikaparallele Molldreiklang:

1.Teilton:                                                     e2                                     e3                                  h3
2.Teilton:                         e1                        e2                   h2              e3                  gis3         h3
3.Tt.:                  a                        a1            e2        a2              cis3    e3          -g3         a3      h3
4.Tt.:        e                      e1             h1       e2    gis2        h2      -d3   e3     fis3       gis3  -b3  h3
5.Tt.:  c                    c1           g1          c2   e2   g2    -b2       c3    d3  e3  -fis3   g3  gis3  -b3  h3
 
          c     e       a    c1    e1   – Molldreiklang
                                c1    e1   g1 a1 h1 c2   – Oberer Tetrachord
                                                                     e2   gis2        h2   - Obere große Mediante

Innerhalb der ursprünglichen Teiltonreihe findet sich tatsächlich ein Molldreiklang im Verhältnis der zehnfachen zur zwölffachen und zur fünfzehnfachen Frequenz des Ausgangstones; das sind die oktavierten Töne der oberen Mediante in Moll, also die parallele Molltonart zur Dominante, wenn man das traditonelle Funktionen-Schema zugrundelegt. Dies wäre also naturaliter die eigentliche Parallele zum tonikalen Grundakkord der Reihe, ihr immanent wie schon die Dominante selbst und die ins Lydische gekrümmte Dur-Skala eben des vierten Oktavabschnitts, in dem sich auch die drei Teiltöne unseres Dreiklangs suchen lassen. Der Mollakkord auf der unteren kleinen Mediante, den man als Parallele zu bezeichnen pflegt, ist hingegen nicht unmittelbar abzuleiten; er ergibt sich erst aufgrund einer modulierenden Umdeutung des Ausgangstones zum dritten Teilton, wie gehabt, also mit der Funktionalisierung des tonikalen Grundakkordes zur Dominante der nächsttieferen Quinte.

Aber wir sollten uns vor Induktionen, die sich in Unscheinbarkeiten verlieren, ebenso hüten wie vor einer begründungsblinden schematischen Deduktion der "Untertonreihe". Natürlich ließen sich Myriaden virtueller Welten aus dem fast schon kontinuierlichen Tonspektrum des fünften, sechsten, siebten usw. Oktavbereiches der Teiltonreihe ableiten. Darum geht es hier nicht; vielmehr zeigen wir mit der Notwendigkeit zur schrittweisen funktionalen Deutung jeder einzelnen Stufe ein Prinzip auf, das der simplen naturalen Gegebenheit des tonikalen Kristallgefüges nicht nur entgegensteht, sondern aus dessen inneren Symmetrien neue Grundmuster hervorspiegelt.

Dabei hat die Musikentwicklung der Neuzeit an diesem selbst schon ziemlich geistvollen "mathematischen" Naturstoff insofern großartige Arbeit geleistet, als sie mit den hin- und herdeutenden Wechselbezügen auch die grundlegende Vereinfachung gefunden hat, die das System der Schwingungsordnung zu neuen Dimensionen musikalischen Lebens aufgeschlossen hat: Die Temperierung der Intervalle, durch die erst kreisläufige Modulationen und konsequente Skalierungen in allen harmonischen Richtungen eröffnet worden sind.

Denn in der Tat begnügt sich das Hören mit Annäherungen des gegebenen Erscheinungsmaterials an die logischen und mathematischen Ordnungen seines Begreifens und seiner deutenden Erwartung, sonst wären Verzierungen, das Verziehen von Tönen, die sprachanaloge Gestaltung des einzelnen Klangbildes, Vibrato und Glissando in An- und Absprache sowie vor allem das verstehende "Zurechthören" all dessen, was menschliche Stimmen hervorsingen, nicht möglich.

In welchen Dimensionen also erlebt sich Musik?

Erscheinend in den drei Raumdimensionen, in denen sie sich kugelförmig in Schalen von Verdichtung und Verdünnung ausbreitet, hat sie ihre innere Differenzierung und ihren qualitativen Reichtum zunächst in der Zeit als der eigentlichen Matrix aller periodischen Vorgänge, aller Schwingungen und deren wiederum mehr oder weniger periodischen Ordnungen und lebendiger Ordnung der Ordnungen.

Darin dem Licht verwandt und in manchen Hinsichten komplementär – das uns in der Außenwelt die Oberflächen und äußerlichen Gestalten der Gegenstände mitteilt, in der Innenwelt des Bewußtseins aber gerade die logische Ordnung ihrer Beziehungen erhellt und erkenntnisstiftend ausleuchtet - offenbart die akustische Sphäre im Medium der räumlich-äußerlichen Dinge eher deren substantiellen Materialcharakter, zeigt Geschehnisse, Bewegungen und Tätigkeiten in kennzeichnender Weise an; in der Binnenwelt unseres Bewußtseins lebt sie dagegen als Basis von Sprache und Musik wie ein Empfindungsgewoge, bleibt inneres Sprechen und Singen, offenbart die Ozeane der Seele, deren geistige Durchdringung eher das Licht des Bewußtseins leistet. Aber die inneren Gesetzmäßigkeiten der Schwingungswelt sind der inspirierenden Quelle näher, trennen auch nicht so zwischen gestalteten Oberflächen außen und logischen Vergleichen innen, sondern lassen uns in immerwährender Keimung, in unerschöpflicher Geburt der Zeit aus dem ewigen Jetzt am nimmerendenden Vorgang der Weltschöpfung teilhaben. Innerlich-äußerlich singen wir mit. Und unsere deutende Erwartung hat wesentlichen Anteil daran.
 
Erweiterung dieser Thematik:
Hat der goldene Schnitt in der musikalischen Harmonik eine Funktion?
 
Anhang
zum (scheinbaren) großen Sekundschritt vom 13. zum 14. Teilton im obigen Beispiel – also einer scheinbaren Vergrößerung, nachdem doch vom 12. zum 13. Teilton schon eine kleine Sekunde angesetzt war.
 
Beim Ausgangston C ist der 12. Teilton ein G (ich nehme hier keine Rücksicht auf die vierte Oktave nach oben, es geht nur um den kleinräumigen Vergleich der Verhältnisse zwischen diesen Tönen), der 16. ist ein C, innerhalb dieser Quart liegen der 13., 14. und 15. Teilton. Der 15. hat viele Teiler, ist also harmonisch gut einzuordnen als Terz der Dominante bzw. (in völlig verschiedener Funktion, aber das ist ja gerade die Tür zur Tonartenmodulation der abendländischen Musik) als Dominantengrundton der oberen großen Mediante (der großen Terz, des E), und in der Leittonfunktion von H zu C ist das auch eine recht repräsentative kleine Sekunde, in der temperierten Stimmung allerdings ist der Schritt von H zu C etwas kleiner.
Rückwärts weiter: der 14. Teilton ist Oktavierung des 7. Teiltons (- müßte Lieblingsteilton von Anthroposophen sein...?-), der zwischen A und B liegt, etwas näher an B allerdings, deshalb -B (minus B); der 13. Teilton (hohe Primzahl, deshalb nicht gerade ein "Schlüsselton" harmonischer Wechselbäumchen) liegt etwa bei As, aber wohl etwas höher, so daß zwischen G und +As, +As und -B, -B und H, H und C vier verschiedene Sekundschritte gereiht sind, die sich immer weiter verkleinern und erst mit H zu C, dann weiter C zu Cis und Cis zu D eine relativ saubere kleine Sekunde nahe der temperierten kleinen Sekunde erreichen.
Dabei ist G zu +As natürlich eine Spur größer als +As zu -B, aber doch in beiden Fällen eher eine kleine als eine große Sekunde: das Minus und das Plus "macht's".

Das ist dem Phänomen der "verminderten Terz" vergleichbar, z.B. Cis zu Es, (etwa in dem berühmten pochenden Teilmotiv zwischen erstem und zweitem Sonatenhauptsatz-Motiv aus Beethovens Violinkonzert, erster Satz), die nur äußerlich wie eine große Sekunde aussieht, – allerdings ist letzteres eine notwendige Leistung der hörenden Deutung, während es bei der Teiltonreihe um kristalline naturale Verhältnisse handelt, deren Deutung und Umdeutung (und dazwischen auch: Temperierung) wie hier beschrieben erst die harmonischen Verhältnisse bildet. Auf der Grundlage einer C-Dur-Skala hören wir die Quint (G) als Dominantengrundton, die Septime (H) als Leitton, – die dazwischen liegenden Schritte (13. und 14. Teilton) hören wir uns zurecht als As und B, den einen leicht erhöht, den anderen deutlich hinabgedrückt (wie schon dessen tiefere Oktave, den 7. Teilton).
Interessant, wie gerade in den verschiedenen Moll-Skalen der abendländischen Harmonik ("natürliches, harmonisches und melodisches Moll") dieser Quartenraum einer gewissen Beliebigkeit und Verfügbarkeit ausgeliefert scheint. Das zeigt gerade an, wie wenig die naturalen Feinheiten höherer Primzahlen von unserer harmonischen Orientierung an den kleinsten (und eben nur den kleinsten) natürlichen Zahlen innerlich "verstanden" werden. Die Temperierung hat die (vom 10. bis zum 22. Teilton) gut 12 (!) geringfügig verschiedenen "kleinen Sekunden" zu einer einzigen gleichgeschaltet, die wohl der Leittonwirkung (15. zu 16.) oder der neapolitanischen Gleittonwirkung (17. zu 16.) am ehesten entsprechen könnte. Das Genaue überlasse ich hier den Thermometern (oder wer sonst mißt die Grade der Temperatur?)...